1.3 KiB
alias
| alias | |
|---|---|
|
up::fonction #maths/analyse
Soit f une bijection de E dans F:
f: E \rightarrow F
On sait qu'elle est injection et surjection, donc \forall y \in F, \exists!x \in E, y = f(x), et on peut dire qu'il existe une application f^{-1} telle que :
$$\begin{aligned}
f^{-1}: &F \rightarrow E\
&y \mapsto x \text{ tel que } y=f(x)
\end{aligned}$$
$$\begin{aligned} f^{-1}: &F \rightarrow E\ &y \mapsto x\text{ tel que }y=f(x),\text{ avec } y\in F \text{ et } x\in E\ \end{aligned}$$
propriétés
f^{-1} à le même sens de variation que f.
composition de fonctions
Lorsque l'on composition de fonctions f et f^{-1}, on obtient une fonction identité :
f \circ f^{-1} = id_E (E \rightarrow F \rightarrow E)
f^{-1}\circ f = id_F (F \rightarrow E \rightarrow F)
⚠️ généralement, f\circ f^{-1} \neq f^{-1}\circ f, car leur ensemble de définition sont différents.
calcul de la fonction réciproque
Exemple
$$\begin{aligned}
f: &\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+\
&x \mapsto x^2
\end{aligned}$$
Avec ces ensembles de départ et d'arrivée, f est bien une bijection
Exemples
Voir: fonction sinus Voir: fonction cosinus