cours/automorphisme linéaire.md

up:: automorphisme title:: "isomorphisme application linéaire d'un ensemble dans lui-même" #maths/algèbre

---

Un automorphisme linéaire est un automorphisme qui est aussi une application linéaire.

[!définition] un automorphisme linéaire est un isomorphisme linéaire de (E, *) lui même

[!définition] Soit (E, +, \cdot) un \mathbf{K} espace vectoriel une application f est un automorphisme linéaire de E \to F ssi :

• \forall x \in E, f(x) \in E (soit E = F)
• \forall (u, v) \in E^{2}, \forall \lambda \in\mathbf{K}, f(\lambda u+v) = \lambda f(u)+f(v) (f est application linéaire)
• f est un isomorphisme :
  • \forall (u, v) \in E^{2}, f(u+_{E}v) = f(u) +_{F} f(v) (f est un morphisme) (nécessaire puisqu'on à E = F)
  • f est bijection

[!définition] Soit (E, +, \cdot) un $\mathbf{K}$espace vectoriel une application f est un automorphisme linéaire de E \to F ssi :

• f est application linéaire
• f est bijection