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symétrique symétrisable symétrisables

up::structure algébrique title::"x est symétrisable si \exists x' \in E, x*x' = x'*x = e l'élément neutre" #maths/algèbre

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Soit E in ensemble muni d'une loi de composition interne *, et contenant un élément neutre e. Un élément a\in E est symétrisable ssi : \exists a'\in E, a*a' = a'*a = e

Notation

Soit a\in E, on note généralement a^{-1} le symétrique de a par la loi *

Remarque

• Si a*a'=e, a' est le symétrique à droite de a
• Si a'*a=e, a' est le symétrique à gauche de a

Propriété

Si un élément a\in E possède un symétrique a', ce symétrique est unique.

Démonstration

On suppose qu'un élément a\in E possède deux symétriques a' et a'' pour la loi *. (On suppose que e possède un élément neutre e). Alors :

• a*a' = e = a'*a
• a*a'' = e = a''*a
• a''*(a*a') = (a''*a)*a'
• a''*e = e*a', soit a''=a Il n'est dont pas possible qu'un élément possède deux symétriques.

Donc tout élément de E possède au maximum un symétrique

Propriété

On suppose que deux éléments x_1 et x_2 dans E possèdent chacun un symétrique. La loi * est supposée associative. x_1*x_1^{-1} = e = x_1^{-1} * x_1 x_2*x_2^{-1} = e = x_2^{-1} * x_2 \begin{aligned}(x_1*x_2)*(x_2^{-1}*x_1^{-1}) &= x_1 * (x_2*x_2^{-1})*x_1{-1}\\ &= x_1*(e*x_1^{-1})\\ &= x_1*c_1^{-1}\\ &= e\end{aligned}

Donc x_2^{-1} * x_1{-1} est un symétrique à droite de x_1*x_2.

\begin{aligned}(x_2^{-1}*x_1^{-1})*(x_1*x_2) &= x_2^{-1}*(x_1^{-1}*x_1)*x_2\\ &= x_2^{-1}*x_2\\ &= e\end{aligned} (x_1*x_2)^{-1} = x_2^{-1}*x_1^{-1} (La symétrisation est distributive sur sa loi)