cours/probabilité à densité.md

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mesure de probabilité à densité densité à densité	mesure de probabilité densité de probabilité	s/maths/probabilités

[!definition] Définition Si f est une densité de probabilité L'application : \begin{align} \mathbb{P} : \mathcal{B}(\mathbb{R}) &\to [0; 1] \\ A &\mapsto \mathbb{P(A)} = \int_{A} f \, d\lambda \end{align} est une mesure de probabilité On dit alors que \mathbb{P} est une probabilité à densité $f$

[!démonstration]- Démonstration f est positive, donc : si A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) alors \displaystyle 0 \leq \int_{A} f \, d\lambda \leq \int_{\mathbb{R}} f \, d\lambda = 1 Alors on a bien :

• \mathbb{P} est positive
• \displaystyle \mathbb{P}(\mathbb{R}) = \int_{\mathbb{R}} f \, d\lambda = 1

Ensuite, si (A_{i})_{i \geq 0} \subset \mathcal{B}(\mathbb{R}) deux à deux disjoints : \begin{align} \mathbb{P}\left( \bigcup _{i \geq 0} A_{i} \right) &= \int_{\bigcup\limits_{i \geq 0} A_{i}} f \, d\lambda \\&= \sum\limits_{i \geq 0} \int_{A_{i}} f \, d\lambda \\&= \sum\limits_{i\geq 0} \mathbb{P}(A_{i}) \end{align} Donc on a bien :

• \displaystyle \mathbb{P}\left( \bigcup _{i\geq 0}A_{i} \right) = \sum\limits_{i\geq 0} \mathbb{P}(A_{i}) si les A_{i} sont des tribu borélienne disjoints

Ainsi, \mathbb{P} respecte bien les 3 propriétés, donc \mathbb{P} est bien une mesure de probabilité. ^definition

Propriétés

[!proposition]+ Soit \mathbb{P} une probabilité à densité f

1. \mathbb{P}([a; b]) = \mathbb{P}(]a; b]) = \mathbb{P}(]a; b[) = \mathbb{P}([a; b[) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx
2. .
3. si A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) alors \lambda(A) = 0 \implies \mathbb{P}(A) = 0

[!proposition]+ densités égales presques partout Soit f une densité de probabilité Si g = f $\lambda$-pp alors g est une densité de probabilité et la probabilité de densité g est la même que celle de densité f

[!proposition]+ Soit X une variable aléatoire réelle de densité f (et F_{X} sa probabilités variable aléatoire fonction de répartition) Soit t_0 \in \mathbb{R} Si f est continue en t_0, Alors F_{X} est dérivable en t_0 et F_{X}'(t_0) = f(t_0)

[!démonstration]- Démonstration Soit t_0 \in \mathbb{R} tel que f est continue en t_0 Soit h>0 \begin{align} \left| \frac{F_{X}(t_0+h) - F_{X}(t_0)}{h} - f(t_0) \right| &= \left| \frac{1}{h} \int_{t_0}^{t_0+h} f(x) \, dx - \frac{1}{h}\int_{t_0}^{t_0+h}f(t_0) \, dx \right| \\&\leq \frac{1}{h}\int_{t_0}^{t_0+h} \left| f(x)-f(t_0) \right| \, dx \end{align} or f est continue en t_0 donc pour \varepsilon>0 fixé, il existe \delta>0 tel que : |x-t_0| \leq \delta \implies |f(x) - f(t_0)| \leq \varepsilon

Alors pour 0 <h \leq \delta on obtient : \displaystyle \left| \frac{F_{X}(t_0+h) - F_{X}(t_0)}{h} - f(t_0) \right| \leq \frac{1}{h} \int_{t_0}^{t_0+h} \varepsilon \, dx = \varepsilon d'où suit que : \lim\limits_{\substack{h \to 0\\h > 0}} \dfrac{F_{X}(t_0+h) F_{X}(t_0)}{h} = f(t_0) On obtient la limite à gauche de la même manière.

Exemples

f(x) = C e^{ -2x } \mathbb{1}_{[0; +\infty[}(x) avec C \geq 0 f est positive in veut \int_{\mathbb{R}}f \, d\lambda = 1 i.e. C \int_0^{+\infty} e^{ -2x } \, dx = 1 i.e. \displaystyle C \cdot \left[ \frac{-e^{ -2x }}{2} \right]_{0}^{+\infty} = 1 i.e. C \frac{1}{2} = 1 i.e. C = 2 d'où f(x) = 2e^{ -2x } \mathbb{1}_{[0; +\infty[}(x)

grid=false;
left=-1; right=3;
top=3; bottom=-1;
width=300;height=300;
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y=2e^{-2x}\{x>=0\} | red
y=0 \{x<0\} | red
(0, 2) | red
0<y<2e^{-2x}\{x>=0\} | red