cours/relation d'équivalence.md

sr-due, sr-interval, sr-ease

sr-due	sr-interval	sr-ease
2023-01-06	113	291

up::relation #s/maths/algèbre

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Soient E un ensemble non vide, et \mathscr R une relation. \mathscr R est une relation d'équivalence ssi elle est :

• relation réflexive : \forall x\in E, x\mathscr Rx
• relation symétrique : \forall (x, y)\in E^2, x\mathscr Ry\implies y\mathscr Rx
  • On peut facilement prouver que cette proposition est équivalente à \forall (x,y)\in E^2, x\mathscr Ry \iff y\mathscr Rx
• relation transitive : \forall (x,y,z)\in E^3, x\mathscr Ry \vee y\mathscr Rz \implies x\mathscr Rz

Exemples

• l'égalité est une relation d'équivalence
• Soit E l'ensemble des droites du plan, le parallélisme sur E est une relation d'équivalence
• Soit E l'ensemble des étudiants d'une université, la relation être dans la même promotion est une relation d'équivalence sur E