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up:: [[intégration.changement de variables]]
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#s/maths/intégration
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> [!definition] Définition
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> $\operatorname{Jac}f(x)= \left( \frac{ \partial f }{ \partial x_1 }(x), \dots, \frac{ \partial f }{ \partial x_{n} }(x) \right)\begin{pmatrix}h_1\\\vdots\\h_{n}\end{pmatrix}$
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> $\operatorname{Jac}f(x) = \begin{pmatrix}\frac{ \partial f_1 }{ \partial x_1 }(x) & \frac{ \partial f_1 }{ \partial x_2 }(x) & \cdots & \frac{ \partial f_1 }{ \partial x_{n} }(x) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \frac{ \partial f_{n} }{ \partial x_1 }(x) & \frac{ \partial f_{n} }{ \partial x_2 }(x) & \cdots & \frac{ \partial f_{n} }{ \partial x_{n} }(x)\end{pmatrix}$
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> $\operatorname{Jac}f(x) = \left( \frac{ \partial f_{i} }{ \partial x_{j} } \right)_{\substack{1 \leq i \leq n\\ 1 \leq j \leq n}}$
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^definition
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> [!definition] Définition
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> Soit
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> $\varphi : \underset{ouvert}{\Delta} \subset \mathbb{R}^{d} \to \underset{ouvert}{D} \subset \mathbb{R}^{d}$
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> une application bijective
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> $\forall y \in \Delta ,\quad \varphi(y) = \varphi(y_1, \dots, y_{d}) = \begin{pmatrix}\varphi_1(y)\\ \vdots\\ \varphi _{d}(y)\end{pmatrix}$
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> On lui associe sa **matrice jacobienne** (que l'on suppose bien définie) :
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> $\operatorname{Jac}_{\varphi}(y) := \begin{pmatrix} \frac{ \partial \varphi_1 }{ \partial y_1 }(y) & \cdots & \frac{ \partial \varphi_1 }{ \partial y_{d} }(y)\\ \vdots & \ddots & \\ \frac{ \partial \varphi _{d} }{ \partial y_{1} }(y) & \cdots & \frac{ \partial \varphi _{d} }{ \partial y_{d} }(y) \end{pmatrix}$
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^definition
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> [!idea]
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> Soit $f$ une application de $\mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$.
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> $\mathrm{d}f(x)$ est une [[application linéaire]] de $\mathscr{L}(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{n})$
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> $\underbrace{\mathrm{d}f(x)(h)}_{\in \mathscr{L}(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{n})}= \sum\limits_{i = 1}^{n} \left( h_{i}\cdot\underbrace{\frac{ \partial f }{ \partial x_{i} }(x)}_{\in \mathscr{L}(\mathbb{R}, \mathbb{R}^{n})} \right)$
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> De là
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# Propriétés
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> [!proposition]+
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> Si $f : \Omega \subset \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}$ est [[fonction différentiable|différentiable]] en $x \in \Omega$
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> alors, pour $h \in \Omega$
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> $\mathrm{d}f(x)(h) = \operatorname{Jac}f(x) \cdot h$
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# Exemples
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