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up::[[sous groupe]]
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#s/maths/algèbre
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> [!proposition] Intersection de sous-groups
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> Soit $G$ un [[groupe]]
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> L'intersection d'une famille de [[sous groupe|sous-groupes]] de $G$ est un [[sous groupe]] de $G$
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> Autrement dit, soit $S$ un ensemble de [[sous groupe|sous-groupes]] de $G$, alors $\displaystyle \bigcap _{H \in S}H$ est un [[sous groupe]]A
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > Soit $\displaystyle K := \bigcap _{H \in S} H$
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> > - $\forall H \in S$, $H$ est un [[sous groupe]] de $G$, donc $H \ni 1$. Donc $\boxed{1 \in K}$
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> > - Soit $k \in K$, si $H \in S$, alors $k \in H \subseteq G$, donc $k \in G$. On a donc $\boxed{K \subseteq G}$
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> > - Soient $k, k' \in K$
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> > $\forall H \in S, \quad k, k' \in H$, donc $\forall H \in S, \quad kk'^{-1} \in H$ et donc $kk'^{-1} \in K$
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- ! Une réunion de sous groupes n'est, en général, pas un sous-groupe (par exemple, $(\mathbb{Z} /2\mathbb{Z}) \cup(\mathbb{Z} / 3\mathbb{Z})$ n'est pas un groupe, car $2+3=5 \notin (\mathbb{Z} /2\mathbb{Z})\cup(\mathbb{Z}/ 3\mathbb{Z})$)
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