cours/idéal engendré.md

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engendré	idéaux d'un anneau	s/maths/algèbre

[!definition] Définition Dans un anneau (A, +, \cdot) Soit X \subset A L'idéal (X) engendré par $X$ est défini par : \displaystyle (X) = \bigcap_{\substack{I \text{ idéal}\\ X \subset I}} I ^definition

Propriétés

[!proposition]+ Soit A un anneau et X \subset A X = 0 \implies (X) = \{ 0 \}

[!proposition]+ Soit A un anneau Soit X \subset A avec X \neq \emptyset alors : \displaystyle (X) = \left\{ \sum\limits_{l = 1}^{n}(a_{l} i_{l}) \middle| \begin{array}{l} m \in \mathbb{N}^{*}\\ a_{l} \in A\\ i_{l} \in X \end{array} \right\}

[!démonstration]- Démonstration Posons \displaystyle J = \left\{ \sum\limits_{l = 1}^{n}(a_{l} i_{l}) \middle| \begin{array}{l} m \in \mathbb{N}^{*}\\ a_{l} \in A\\ i_{l} \in X \end{array} \right\}

• J \subset (X) est évident
• on vérifie que J est un idéal qui contient X ainsi : \displaystyle X = \bigcap _{\substack{I \text{ idéal}\\ X \subset I}} (I) \subset J donc X \subset J

Ainsi, par double inclusion on a : X = J

[!corollaire]+ Idéaux engendrés par des ensembles finis Soit A un anneau Soit X = \{ a_1, a_2, \dots, a_{k} \} \subset A avec k \in \mathbb{N}^{*} Alors : (X) = a_1A + a_2A + \cdots + a_{k}A

Exemples