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sr-due: 2023-01-06
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sr-interval: 113
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sr-ease: 291
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up::[[relation]]
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#s/maths/algèbre
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Soient $E$ un ensemble non vide, et $\mathscr R$ une [[relation]].
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$\mathscr R$ est une _relation d'équivalence_ ssi elle est :
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- [[relation réflexive|réflexive]] : $\forall x\in E, x\mathscr Rx$
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- [[relation symétrique|symétrique]] : $\forall (x, y)\in E^2, x\mathscr Ry\implies y\mathscr Rx$
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- On peut facilement prouver que cette proposition est équivalente à $\forall (x,y)\in E^2, x\mathscr Ry \iff y\mathscr Rx$
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- [[relation transitive|transitive]] : $\forall (x,y,z)\in E^3, x\mathscr Ry \vee y\mathscr Rz \implies x\mathscr Rz$
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# Exemples
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- l'égalité est une relation d'équivalence
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- Soit $E$ l'ensemble des droites du plan, le parallélisme sur $E$ est une relation d'équivalence
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- Soit $E$ l'ensemble des étudiants d'une université, la relation _être dans la même promotion_ est une relation d'équivalence sur $E$
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