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up:: [[isomorphisme de groupes|isomorphisme]]
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#s/maths/algèbre
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> [!definition] Définition
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> Soient deux groupes $A$ et $B$
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> La relation "il existe un [[isomorphisme]] entre $A$ et $B$" est notée $A \simeq B$, et est une [[relation d'équivalence]].
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> Si $A \simeq B$, on dit que "$A$ est isomorphe à $B$"
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^definition
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# Propriétés
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> [!proposition]+ Invariants par isomorphisme
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> Soient $A$ et $B$ deux groupes avec $A \simeq B$ ($A$ est isomorphe à $B$) et si $f: A \to B$ est un isomorphisme
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> On a les propriétés suivantes :
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> - $A$ est [[commutativité|commutatif]] $\iff$ $B$ est [[commutativité|commutatif]]
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> - $A$ est [[groupe monogène|monogène]] $\iff$ $B$ est [[groupe monogène|monogène]]
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> - $Z(A) \simeq Z(B)$ (les [[centre d'un groupe|centres]] de $A$ et $B$ sont isomorphes)
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> - $(\#A = n) \implies (\#B = n)$
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> - $\forall x \in A,\quad o(x) = o(f(x))$ (l'[[ordre d'un élément d'un groupe|ordre d'un élément]] est invariant)
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> - le nombre d'éléments d'ordre $n$ dans $A$ est égal au nombre d'éléments d'ordre $n$ dans $B$
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> - formellement : $\forall n \in \mathbb{N},\quad \#\{ x \in A \mid o(x) = n \} = \#\{ y \in B \mid o(y) = n \}$
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# Exemples
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> [!example] Contre-exemple
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> Les groupes $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ et $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{2}$ sont tous les deux [[groupe abélien|abéliens]] de cardinal 4, mais ne sont pas isomorphes.
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> En effet, le premier possède un élément d'ordre 4, mais tous les éléments du second sont d'ordre au plus 2.
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