cours/fonction sinus hyperbolique.md

alias, sr-due, sr-interval, sr-ease

alias	sr-due	sr-interval	sr-ease
sh sinus hyperbolique	2022-09-01	13	279

up::trigonométrie, fonctions particulières sibling::fonction cosinus hyperbolique properties::fonction impaire, bijection derivative::fonction cosinus hyperbolique primitive::"" description::"$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$", "$x \mapsto \dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}$" title::$\mathrm{sh}$ #s/maths/analyse #s/maths/trigonométrie

---

Noté \sinh, ou \text{sh}. \mathrm{sh}(x) = \dfrac{e^x - e^{-x}}2

Elle est appelée sinus car sa définition ressemble à celle de la fonction sinus dans la Formules d'Euler#sinus

Graphe

    top=2
left=-2; right=2
    bottom=-2
width=350; height=350
---
y = \sinh(x)
(0, 0) | black

Propriétés

\boxed{\mathrm{ch}^{2} - \mathrm{sh}^{2} = 1} \mathrm{ch}^2 x - \mathrm{sh}^2 x = \dfrac{e^{2x}+2+e^{-2x}}4 - \dfrac{e^{2x}-2+e^{-2x}}4 = 1 (Voir fonction cosinus hyperbolique)

• \mathrm{sh} est une fonction impaire
• \mathrm{sh} est fonction dérivable sur \mathbb{R}
  • \mathrm{sh} est donc application continue
  • dérivée : \mathrm{sh}' = \mathrm{ch} fonction sinus hyperbolique (existe sur \mathbb{R})
    • a pour tangente à une courbe en 0 la courbe de y = x
• \mathrm{sh} est fonction croissante
• asymptote à \mathrm{ch} en +\infty et à -\mathrm{ch} en -\infty
  • \mathrm{sh} \underset{+\infty}{\sim} \mathrm{ch} (fonctions équivalentes) et \mathrm{sh} \underset{-\infty}{\sim} -\mathrm{ch}
• \mathrm{sh} est une bijection
  • \mathrm{sh} est application continue car elle est fonction dérivable
  • \mathrm{sh} est fonction croissante
  • toute fonction continue et strictement monotone est une bijection

Note

\sin(x) = \sinh(ix) soit \mathrm{sh}(x) = \sin\left(\frac{x}{i}\right) = \sin(-ix) ⚠️ \sin ne peut pas être défini sur \C car il perd ses propriétés