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	s/maths/logique

[!definition] Définition Soit X un ensemble Un filtre sur X est un ensemble \mathscr{F} \subseteq \mathcal{P}(X) qui vérifie les propriétés suivantes :

1. X \in \mathscr{F} (contient X)
2. Si A, B \in \mathscr{F} alors A \cap B \in \mathscr{F} (stabilité par intersection)
3. Si A \in \mathscr{F} et A \subseteq B alors B \in \mathscr{F} (stabilité par ?)

Dans tous les livres, on rajoute une hypothèse pour exclure le filtre trivial :

• \emptyset \notin \mathscr{F} (le filtre est non trivial) ^definition

title: "Sous-notes"
type: tree
collapse: false
show-attributes: [field]
field-groups: [downs]
depth: [0, 0]

Propriétés

[!proposition]+ Filtre trivial \mathscr{F} = \mathcal{P}(X) est le filtre trivial sur X

• i cela est rendu impossible si on admet \emptyset \in \mathscr{F}, ce que l'on fait généralement ^filtre-trivial

[!proposition]+ Relation d'ordre sur les filtres On peut définir une relation d'ordre sur les filtres sur X, héritée de la relation d'inclusion dans \mathcal{P}(\mathcal{P}(X)) ^relation-d-ordre

Exemples

1 - filtre de fréchet

!filtre de fréchet

2 - voisinages

Soit X un structure de topologie (par exemple X \subseteq \mathbb{R}^{n} ou bien un espace métrique) \mathscr{F}_{x} = \{ V \in \mathcal{P}(X) \mid V \text{ est un voisinage de } x \} est un filtre non-filtre#^filtre-trivial

• i V est voisinage de x \iff \begin{cases} \exists \varepsilon > 0,\quad B(x, \varepsilon) \subseteq V \end{cases}

0. V voisinage de x \implies x \in V \implies v \neq \emptyset
1. X est voisinage de x
2. soient V_1, V_2 voisinages de X, alors B(x, \varepsilon_1) \subseteq V_1 et B(x, \varepsilon_2) \subseteq V_2 et donc B(x, \min(\varepsilon_1, \varepsilon_2)) \subseteq V_1 \cap V_2 donc V_1 \cap V_2 est bien un voisinage de X d'où il suit que V_1 \cap V_2 \in \mathscr{F}_{x}

3 - voisinages dans \mathbb{R}

Soit le filtre \mathscr{F}_{+\infty} défini par :

• def V \in \mathscr{F}_{+\infty} s'il existe R \in \mathbb{R} tel que ]R, +\infty[ \subseteq V

ensemble ordonné filtrant

c'est-à-dire que toute partie finie est ordonnée c'est-à-dire : \begin{cases} X \neq \emptyset \\ \text{pour } a, b \in X,\quad \text{ il existe } c \in X \text{ tel que } a \leq b \text{ et } b \leq c\end{cases}

Soit X_{a} = \{ x \in X \mid a \leq x \} on définit le filtre \mathscr{F} par :

• def V \in \mathscr{F} ssi il existe a \in X tq V \supseteq X_{a}

[!example] Exemples

• ensembles non vides totalement ordonnés
• \mathbb{N} muni de la divisibilité
• \mathcal{P}_{f}(S) les parties finies d'un ensemble S

Filtre principal \mathcal{P}_{x}

• def V \in \mathcal{P}_{x} \iff x \in V