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- "[[filtre]]"
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tags:
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- s/maths/logique
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> [!definition] Définition
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> On définit $\mathscr{F}$ le filtre de Fréchet par :
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> $A \in \mathscr{F}$ si $X - A$ est fini
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^definition
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# Démonstration que c'est bien un filtre
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1. $X - X = \emptyset$ est bien fini
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2. soient $A, B \in \mathscr{F}$ on a :
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$X - (A \cap B) = (X-A) \cup (X-B)$
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or la réunion de deux ensembles finis est finie d'où il suit que $A \cap B \in \mathscr{F}$
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3. Soit $A \in \mathscr{F}$ avec $A \subseteq B$
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$X - B \subseteq X - A$ or on sait que $X - A$ est fini, et qu'une partie d'un ensemble fini est finie, d'où on a que $X - B$ est fini et donc que $B \in \mathscr{F}$
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