46 lines
1.9 KiB
Markdown
46 lines
1.9 KiB
Markdown
---
|
|
aliases:
|
|
up:
|
|
- "[[distances particulières]]"
|
|
tags:
|
|
- s/maths/topologie
|
|
---
|
|
|
|
> [!definition] Définition
|
|
> Soit $E$ un ensemble quelconque
|
|
> La **distance discrète** est la [[distance]] $d$ définie sur $E^{n}$ par :
|
|
> $\forall x, y \in E^{n},\quad d(x, y) = \begin{cases} 0 \text{ si } x = y \\ 1 \text{ si } x \neq y \end{cases}$
|
|
>
|
|
> > [!démonstration]- Démonstration que c'est bien une distance
|
|
> > - symétrie
|
|
> > Il est évident que $d(x, y) = d(y, x)$ par symétrie de $=$ et de $\neq$
|
|
> > - positivité
|
|
> > $d$ est à valeurs dans $\{ 0, 1 \}$, elle est donc bien positive
|
|
> > - séparation et $d(x, x) = 0$
|
|
> > $d(x, y) = 0 \iff x = y$ est immédiat par définition
|
|
> > - inégalité triangulaire
|
|
> > $d(x+x', y+y') = \begin{cases} 0 \text{ si } x+x' = y+y' \\ 1 \text{ si } x+x' \neq y+y'\end{cases}$
|
|
> > $d(x, y) + d(x', y') = \begin{cases} 0 \text{ si } x =y \\ 1 \text{ si } x \neq y \end{cases} + \begin{cases} 0 \text{ si } x' = y' \\ 1 \text{ si } x' \neq y' \end{cases}$
|
|
> > On distingue donc 4 cas :
|
|
> > - si $x = y$ et $x' = y'$ alors $d(x, y) + d(x', y') = 0$, et $d(x+x', y+y') = 0$
|
|
> > - si $x = y$ et $x'\neq y'$ alors $d(x, y) +d(x', y') = 1$ et $d(x+x', y+y') = 1$
|
|
> > - si $x \neq y$ et $x' = y'$ alors $d(x, y) + d(x', y') = 1$ et $d(x+x', y+y') = 1$
|
|
> > - si $x\neq y$ et $x' \neq y'$ alors $d(x, y) + d(x', y') = 2$ et $d(x+x', y+y') \in \{ 0, 1 \}$
|
|
> >
|
|
> > On voit que, dans tous les cas, on a bien $d(x, y) + d(x', y') \leq d(x+x', y+y')$, donc l'inégalité triangulaire est vraie pour $d$.
|
|
>
|
|
> - I Cette distance est définie sur tout ensemble $E$ non vide. Cela permet de montrer que tout ensemble
|
|
^definition
|
|
|
|
# Propriétés
|
|
|
|
> [!proposition]+ Boules de la distance discrète
|
|
> Soit $d$ la distance discrète sur $E \times E$
|
|
> Soient $p \in E$ et $r \geq 0$
|
|
> - si $r = 0$ alors $B(p, r) = \emptyset$
|
|
> - si $r < 1$ alors $B(p, r) = \{ p \}$
|
|
> - si $r \geq 1$ alors $B(p, r) = E$
|
|
|
|
# Exemples
|
|
|