cours/cours L3.algèbre.propriétés des inverses.md

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inverses propriétés des inverses dans les groupes propriétés des inverses

up:: cours L3.algèbre

[!definition] Proposition Soit (G, *) un groupe Soient a, b, c \in G On a \begin{align} a*b = a*c &\iff b=c \\&\iff b*a=c*a \end{align} De plus, l'équestion a*x = b d'inconnue x \in G a pour unique solution x = a^{-1} * b

[!démonstration] Démonstration Montrons a*b = a*c \iff b=c

1. implication \implies \begin{align} a*b=a*c &\implies a^{-1}*(a*b) = a^{-1}*(a*c)\\ &\implies (a^{-1}*a)*b = (a^{-1}*a)*c & \text{associativité}\\&\implies b=c\end{align}
2. implication \impliedby
b=c \implies a*b = a*c \implies évident en multipliant à gauche par a

[!definition] proposition Soit (G, *) un groupe Soient a, b \in G qui commutent (a*b = b*a) Alors a ^{-1} commute avec b et b^{-1}

[!démonstration] Démonstration

\begin{align}
a*b = b*a &\implies a^{-1}*(a*b) = a^{-1}*(b*a)  \\
&\implies \underbrace{(a^{-1}*a)}_{e_{G}}*b = (a^{-1}*b)*a & \text{par associativité} \\
&\implies b = a^{-1} * b * a \\
&\implies b*a^{-1} = a^{-1} * b * \underbrace{a * a^{-1}}_{e_{G}} \\
&\implies b*a^{-1} = a^{-1}*b
\end{align}

Ainsi, b commute avec a^{-1} dès que a commute avec b On utilise la même méthode pour montrer que a ^{-1} commute avec b^{-1} dès que b commute avec a^{-1}. On peut donc bien conclure que a^{-1} commute avec b^{-1} dès que a commute avec b^{-1}