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aliases:
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- indépendants
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up:
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- "[[probabilité conditionnelle]]"
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tags:
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- s/maths/probabilités
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> [!definition] Définition
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> Dans un [[espace probabilisé]] $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$
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> On dit que $A$ et $B$ sont indépendants si :
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> $\boxed{\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A) \mathbb{P}(B)}$
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^definition
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> [!definition] Variables aléatoires indépendantes
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> $X$ et $Y$ des [[variable aléatoire réelle|variables aléatoires réelles]] sont **indépendantes** si :
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> $\forall B_1, B_2 \in \mathcal{B}(\mathbb{R}),\quad \underbrace{\mathbb{P}(X \in B_1) \wedge Y \in B_2}_{\mathbb{P}((X, Y) \in B_1 \times B_2)} = P(X \in B_1) \times \mathbb{P}(Y \in B_2)$
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> Autrement dit :
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> $\forall B_1, B_2 \in \mathcal{B(\mathbb{R})},\quad \mathbb{P}_{(X, Y)}(B_1 \times B_2) = \mathbb{P}_{X}(B_1) \mathbb{P}_{Y}(B_2)$
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> Ou bien $\mathbb{P}_{(X, Y)}(B_1 \times B_2) = P_{X} \otimes \mathbb{P}_{Y} (B_1 \times B_2)$ (notation de la [[mesure produit]])
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# Propriétés
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> [!proposition]+ Définitions équivalentes
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> Soient $A, B \in \mathcal{A}$ avec $\mathbb{P}(A) > 0$ et $\mathbb{P}(B) > 0$
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> On a équivalence entre les propositions suivantes :
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> - $A$ et $B$ sont indépendants
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> - $\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A) \mathbb{P}(B)$
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> - $\mathbb{P}(A \mid B) = \mathbb{P}(A)$
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> - $\mathbb{P}(B | A) = \mathbb{P}(B)$
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>
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > $\begin{align} \mathbb{P}(A | B) = \mathbb{P}(A) &\iff \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)} = \mathbb{P}(A) \\&\iff \mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A) \mathbb{P}(B) \\&\iff \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(A)} = \mathbb{P}(B) \\&\iff \mathbb{P}(B \mid A) = \mathbb{P}(B) \end{align}$
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> [!proposition]+
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> Si $A$ et $A$ sont indépendants on a :
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> $\mathbb{P}(A) = 0$ ou $\mathbb{P}(A) = 1$
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>
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > $\begin{align} A \text{ et } A \text{ indépendants} &\iff \mathbb{P}(A \cap A) = \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(A) \\&\iff \mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(A)^{2} \\&\iff \mathbb{P}(A) = 0 \text{ ou } \mathbb{P}(A) = 1 \end{align}$
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> [!proposition]+ Indépendance du complémentaire
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> Si $A$ et $B$ sont indépendants
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> Alors $A$ et $B^{\complement}$ sont indépendants
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>
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > Supposons $A$ et $B$ indépendants, on a alors :
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> > $\begin{align} \mathbb{P}(\underbrace{A \cap B^{\complement}}_{A \setminus B}) &= \mathbb{P}(A) - \mathbb{P}(A \cap B) \\&= \mathbb{P}(A) - \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B) \\&= \mathbb{P}(A) \left[ 1 - \mathbb{P}(B) \right] \\&= \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B^{\complement}) \end{align}$
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> >
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> > d'où suit que $A$ et $B^{\complement}$ sont indépendants
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> >
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> [!proposition]+ Indépendance et mesure produit
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> Soit $X = (X_1, \dots, X_{d})$ un [[vecteur aléatoire]]
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> $X_1, \dots, X_{d}$ sont indépendantes si et seulement si :
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> $\mathbb{P}_{X} = \mathbb{P}_{X_1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{P}_{X_{d}}$
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>
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> Cas des [[probabilité à densité|variables à densité]] :
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> > [!info] Notation
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> > si $f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sont deux applications,
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> > on note :
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> > $\begin{align} f \otimes g : \mathbb{R}^{2} &\to \mathbb{R} \\ (x, y) &\mapsto f(x)g(y) \end{align}$
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>
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> > [!proposition]+
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> > Si $X_1, \dots, X_{d}$ sont des variables aléatoires **indépendantes** de densité $f_{X_1}, \dots, f_{X_{d}}$
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> > alors $X = (X_1, \dots, X_{d})$ admet une densité donnée par $f_{X} = f_{X_1} \otimes \cdots \otimes f_{X_{d}}$
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> > - ! La réciproque n'est pas vraie
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> >
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> > > [!démonstration]- Démonstration
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> > > Pour $d = 2$
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> > > On suppose $X_1, X_2$ indépendantes
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> > > Soit $B_1\times B_2 \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^{2})$
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> > > $\begin{align} \mathbb{P}(X \in B_1 \times B_2) &= \mathbb{P}(X_1 \in B_1)\mathbb{P}(X_2 \in B_2) & \text{par indépendance} \\&= \int_{B_1} \underbrace{f_{X_1}(x_1)}_{\geq 0} \, dx_1 \int_{B_2} \underbrace{f_{X_3} (x_2)}_{\geq 0} \, dx_2 \\&= \int_{B_1 \times B_2} f_{X_1}(x_1) f_{X_2}(x_2) \, d\lambda_2(x_1, x_2) & \text{par le th. de Fubini positif} \end{align}$
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> > > D'où $X$ admet pour densité :
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> > > $f_{X}(x_1, x_2) = f_{X_1} \otimes f_{X_2}$
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> > >
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>
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> > [!proposition]+
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> > S'il existe des densités de probabilité $f_1, \dots, f_{d}$ tellesq ue $X$ admet pour densité $f_{X} = f_1 \otimes \cdots \otimes f_{d}$
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> > Alors $X_1, \dots, X_{d}$ sont indépendantes, et pour tout $i \in [\![1, d]\!]$ $X_{i}$ a pour densité $f_{i}$
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> > - ! Ce n'est pas exactement la réciproque de l'énoncé précédent
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> >
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> > > [!démonstration]- Démonstration
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> > > dans le cas $d = 2$
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> > > Si $f_{X} = f_1 \otimes f_2$ où $f_1, f_2$ sont des densités de probabilité
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> > > Soit $B_1, B_2 \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$
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> > > $\begin{align} \mathbb{P}(X_1 \in B_1 \wedge X_2 \in B_2) &= \mathbb{P}(X \in B_1 \times B_2) \\&= \int_{B_1 \times B_2} \underbrace{f_1(x_1)f_2(x_2)}_{\geq 0} \, d\lambda_2(x_1, x_2) \\&= \int_{B_1}f_1(x_1) \, dx_1 \int_{B_2}f_2(x_2) \, dx_2 & \text{par Fubini positif} \end{align}$
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> > >
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> > > Or en prenant $B_2 = \mathbb{R}$ on obtient $\mathbb{P}(X_1 \in B_1) = \int_{B_1}f_1(x_1) \, dx_1$
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> > > et en prenant $B_1 = \mathbb{R}$, on a $\mathbb{P}(X_2 \in B_2) = \int_{B_2} f_2(x_2) \, dx_2$
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> > > d'où :
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> > > - $X_1$ est de densité $f_1$
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> > > - $X_2$ est de densité $f_2$
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> > > - $X_1$ et $X_2$ sont indépendantes
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# Exemples
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![[événements indépendants 2025-01-20 10.44.04.excalidraw|900]]
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![[événements indépendants 2025-01-20 10.51.31.excalidraw|900]]
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