cours/matrice de rotation.md

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rotation

up::matrice, rotation, matrice orthogonale sibling:: matrice de symétrie title::"matrice orthogonale de déterminant d'une matrice 1", "\begin{pmatrix}a&b\\ b&-a\end{pmatrix} avec a^{2}+b^{2}=1 en 2D" #s/maths/algèbre

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[!definition] Matrice de rotation Une matrice de rotation est une matrice orthogonale de déterminant d'une matrice 1

[!idea]- Intuition Il semble logique que déplacer une base d'un espace vectoriel en conservant les norme et les produit scalaire soit une matrice de rotation ou une matrice symétrique (c'est démontrable). Le déterminant de 1 sert à ne prendre que les rotations. ^definition

[!definition] Matrice de rotation Soit \mathbf{K} un corps Soit M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbf{K}) une matrice M est une matrice de rotation ssi l'matrice associée à une application linéaire à M, f: u \mapsto Mu correspond à une rotation vectorielle.

Propriétés

• S \text{ est une rotation } \iff \det S = 1

Types de matrices de rotation

En dimension 2

[!definition] Matrice de rotation en 2D La rotation d'angle \theta correspond à la matrice :

\large\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix} !matrice de symétrie 2022-11-09 18.14.44.excalidraw