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	s/maths/logique

[!definition] Définition Soit X un ensemble Un filtre sur X est un ensemble \mathscr{F} \subseteq \mathcal{P}(X) qui vérifie les propriétés suivantes :

1. X \in \mathscr{F} (contient X)
2. Si A, B \in \mathscr{F} alors A \cap B \in \mathscr{F} (stabilité par intersection)
3. Si A \in \mathscr{F} et A \subseteq B alors B \in \mathscr{F} (stabilité par ?)

Dans tous les livres, on rajoute une hypothèse :

• \emptyset \notin \mathscr{F} (le filtre est non trivial) ^definition

Propriétés

[!proposition]+ Filtre trivial \mathscr{F} = \mathcal{P}(X) est le filtre trivial sur X

• i cela est rendu impossible si on admet \emptyset \in \mathscr{F} ^filtre-trivial

[!proposition]+ Relation d'ordre sur les filtres On peut définir une relation d'ordre sur les filtres sur X, héritée de la relation d'inclusion dans \mathcal{P}(\mathcal{P}(X)) ^relation-d-ordre

Exemples

1 - filtre de fréchet

2 - ?

Soit X un structure de topologie (par exemple X \subseteq \mathbb{R}^{n} ou bien un espace métrique) \mathscr{F}_{x} = \{ \text{voisinage de } x \} est un filtre non-filtre#^filtre-trivial

• i V est voisinage de x \iff \begin{cases} \exists \varepsilon > 0,\quad B(x, \varepsilon) \subseteq V \end{cases}