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alias: [ "sous espace propre", "sous espaces propres", "sous espace vectoriel des vecteurs propres associés à une valeur propre" ]
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up:: [[vecteur propre]], [[vecteur propre d'une matrice]], [[valeur propre d'une application linéaire]], [[valeur propre d'une matrice]]
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title:: "Les [[vecteur propre d'une matrice|vecteurs propres]] d'une [[valeur propre d'une matrice|valeur propre]] avec $\vec{0}$"
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#s/maths/algèbre
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> [!definition] Sous espace propre
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> Soit $\mathbf{K}$ un [[corps]]
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> Soit $M$ [[matrice]] de $\mathcal{M}_{n}(\mathbf{K})$ (ou bien un [[appplication linéaire]] de $K^{n} \to \mathbf{K}^{n}$)
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> Pour toute [[valeur propre d'une matrice|valeur propre]] $\lambda$ de $M$
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> L'ensemble des [[vecteur propre d'une matrice|vecteurs propres]] associés à $\lambda$, complété par $\vec{0}$ est un [[sous espace vectoriel]] de $\mathbf{K}^{n}$.
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> C'est l'[[espace vectoriel]] des $\{ u \in \mathbf{K^{n}} \mid Mu = \lambda u \}$
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> On appelle cet [[espace vectoriel]] le **sous espace propre associé à $\lambda$**
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^definition
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# Propriétés
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- l'intersection de 2 [[sous espace propre|sous espaces propres]] est toujours $\{ \vec{0} \}$
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- l'[[somme d'espaces vectoriels|somme]] de tous les [[sous espace propre|sous espaces propres]] est $K^{n}$
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- les [[sous espace propre|sous espaces propres]] sont en somme directe dans $\mathbf{K}^{n}$
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- le sous espace propre associé à une valeur propre $\lambda$ a une dimension inférieure à la [[valeur propre d'une matrice#Multiplicité|multiplicité de la valeur propre]]
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- $\dim(E_{f}(\lambda)) \leq \mathrm{mult}(\lambda)$
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- Cela explique pourquoi certaines
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