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up:: [[forme quadratique]]
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title:: "somme de carrés de combinaisons linéaires : $\pm\left( ax_1+bx_2+cx_3 \right)^{2} \pm \left( dx_2 + ex_3 \right)^{2} \pm fx_3^{2}$"
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author:: [[Carl Friedrich Gauss]]
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#s/maths/algèbre
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> [!definition] Forme de Gauss d'une forme quadratique
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> La forme de Gauss d'une [[forme quadratique]] est une façon d'écrire la forme quadratique comme un polynôme en **somme de carrés** de combinaisons linéaires de ses variables.
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> Cela permet de déterminer facilement la [[forme quadratique positive|positivité]] et le signe de la forme quadratique.
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^definition
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> [!example] Exemple
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> Soit cette forme quadratique : $\psi \left( \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \right) = x^{2} + 4 xy +2y^{2}$
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> Sous la forme de gauss : $\psi \left( \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \right) = (x+2y)^{2} - 2y^{2}$
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> [!info] Méthode de calcul
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> Pour mettre une [[forme quadratique]] sous forme de gauss, il faut procéder une variable à la fois, et faire en sorte, à chaque fois, d'utiliser une [[identités remarquables|identité remarquable]] pour que toutes les références à cette variable soient dans une parenthèse **mise au carré**.
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> Par exemple, pour $\psi \left( \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \right) = x^{2} + 4xy + 2y^{2}$, on commence par $x$.
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> On remarque la similitude avec l'[[identités remarquables|identité remarquable]] $(x + 2y)^{2} = x^{2} + 4xy + 4y^{2}$ : les parties avec des $x$ sont les mêmes.
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> Alors on a :
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> $$\begin{align}
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> \psi \left( \begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} \right) &= x^{2} + 4xy + 2y^{2}\\
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> &= \left( x^{2} + 4xy + 4y^{2} \right) - 2y^{2} && \text{terme en plus pour compenser l'id. remarquable} \\
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> &= (x + 2y)^{2} - 2y^{2} && \text{on n'a plus que des carrés}
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> \end{align}$$
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