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aliases:
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- intérieur
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up: "[[espace métrique]]"
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sibling: "[[adhérence d'un espace métrique|adhérence]]"
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tags: "#s/maths/topologie"
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> [!definition] [[intérieur d'un espace métrique]]
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> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]] et $A \subset X$ une partie quelconque de $X$
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> Il existe un (unique) plus grand ouvert $\mathring{A}$ parmi tous les ouverts contenus dans $A$.
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> On l'appelle **intérieur** de $A$
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^definition
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> [!definition]+ Autre définition
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>$\mathring{A} = \{ x \in A \mid \exists r>0,\quad B(x, r) \subset A \}$
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> - I l'ensemble des points de $A$ qui ont un voisinage dans $A$
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> ![[intérieur et extérieur d'un espace métrique.excalidraw]]
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> > [!démonstration]- Démonstration de l'équivalence
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> > On procède par double inclusion.
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> > Si $x \in \mathring{A}$, comme $\mathring{A}$ est ouvert, il existe $r > 0$ tel que $B(x, r) \subset \mathring{A}$ et, comme $\mathring{A} \subset A$, on a donc $B(x, r) \subset A$
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> > D'où $\mathring{A} \subset \{ x \in A \mid \exists r>0,\quad B(x, r) \subset A \}$
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> > Montrons l'inclusion inverse.
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> > Soit $x \in \{ \cdots \}$ on veut montrer que $x \in \mathring{A}$
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> > on a $x \in B(x, r) \subset A$
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> > en particulier, $B(x, r) \subset \mathring{A}$
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> > donc $x \in \mathring{A}$
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> > Ce qui montre $\mathring{A} = \{ x \in A \mid \exists r>0,\quad B(x, r) \subset A \}$
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# Propriétés
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> [!proposition]+ Existance et unicité
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> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]] et $A \subset X$
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> $\mathring{A}$ l'intérieur de $A$ existe et est unique.
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > $\displaystyle\mathring{A} = \bigcup _{\substack{V \text{ ouvert}\\ V \subset A}}$
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> > Donc $\mathring{A}$ est le plus grand ouvert contenu dans $A$.
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> > On peut toujours trouver un $V$ ouvert tel que $V \subset A$, car $A$ est un tel ouvert
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> [!proposition]+ Lien avec l'[[adhérence d'un espace métrique|adhérence]]
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> Sur l'[[espace métrique]] $(X, d)$ :
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> - $\mathring{A} = \left( \overline{A^{\complement} }\right)^{\complement}$ autrement dit $\mathring{A} = X \setminus \left( \overline{X \setminus A} \right)$
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> - $\mathring{A}$ est le complémentaire de l'intérieur de $X \setminus A$
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> - $\overline{A} = {( \mathring{\overparen{A^{\complement}}} )}^{\complement}$ $\bar{A} = X \setminus \mathring{\overparen{(X \setminus A)}}$
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> C'est un [[principe du parapluie|parapluie]] : $\mathring{\cdot} = \complement \circ \overline{\cdot} \circ \complement$ (car le complémentaire est sson propr inverse)
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > Si $U$ est ouvert avec $U \subset A$
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> > $X \setminus U$ est un fermé, et $X \setminus A \subset X \setminus U$
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> > en particulier, si $U = \mathring{A}$, alors $X \setminus \mathring{A}$ est un fermé qui contient $X \setminus A$ :
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> > $X \setminus \mathring{A} \supset \overline{X \setminus A}$
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> > A l'inverse, $\overline{X \setminus A}$ est un fermé qui contient $X \setminus A$.
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> > $X \setminus \overline{X \setminus A}$ est un ouvert contenu dans $A$.
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> > Donc $X \setminus \overline{X \setminus A} \subset \mathring{A}$
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> > On a donc bien $X \setminus \mathring{A} = \overline{X \setminus A}$
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> > L'autre formule $X \setminus \overline{B} = \mathring{\overparen{X \setminus B}}$ s'en déduit, en prenant $B = X \setminus A$
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> [!proposition]+ Lien avec l'[[partie ouverte d'un espace métrique|ouverture]]
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> $A$ est ouvert $\iff$ $A = \mathring{A}$
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# Exemples
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> [!example] $\mathbb{Q}$ est d'intérieur vide dans $\mathbb{R}$
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> Soit $x \in \mathbb{Q}$, on veut voir que $\forall r > 0,\quad B(x, r) \not\subset \mathbb{Q}$
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> Prenons $x_{n}= x + \frac{\sqrt{ 2 }}{n}$
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> Comme $x \in \mathbb{Q}$, on a $x_{n} \notin \mathbb{Q}$, mais $x_{n} \xrightarrow{n \to +\infty} x$
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> S'il existant $r>0,\quad B(x, r) \subset \mathbb{Q}$ on aurait, si $n$ assez grand, $x_{n} \in B(x, r)$, donc $x_{n} \in \mathbb{Q}$
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> C'est absurde, donc $\forall r > 0,\quad B(x, r) \not\subset \mathbb{Q}$.
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> Alors, on sait que $\mathring{\mathbb{Q}} = \emptyset$
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