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up::[[analyse]], [[fonction]]
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#s/maths/analyse
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La fonction _indicatrice_ (ou caractéristique) est une [[fonction]] définie sur un ensemble $E$ qui explicite l'appartenance ou non à un sous ensemble $F$ de $E$ de tout élément de $E$.
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Formellement, la fonction _indicatrice_ d'un sous-ensemble $F$ d'un ensemble $E$ est une fonction :
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$$
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\begin{align}
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I_F :& E \rightarrow \{0, 1\}\\
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& x \mapsto \left\{\begin{gathered}
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1 \text{ si } x\in F\\
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0 \text{ si } x\notin F
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\end{gathered}\right.
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\end{align}
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$$
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```desmos-graph
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y = x
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```
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# Notation
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La fonction _indicatrice_ de $F$ peut être notée :
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- $\chi_F$
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- $1_F$
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- $\mathbb1_F$
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- $I_F$
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# Propriétées
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Soient $A$ et $B$ sont deux sous-ensembles de $E$
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- $(A \subseteq B) \iff (\chi_A \leq \chi_B)$
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- $\chi_{\overline A} = 1-\chi_A$
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- $\chi_{A\cup B} = \min\{\chi_A, \chi_B\} = \chi_A\times\chi_B$
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- $\chi_{A\cup B} = \max\{\chi_A, \chi_B\} = \chi_A+\chi_B-\chi_A\times\chi_B$
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- $\chi_{A\Delta B} = \chi_A+\chi_B-2\chi_A\times\chi_B$
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