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up::[[endomorphisme d'espaces vectoriels]], [[application linéaire]]
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#s/maths/algèbre
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Un _endomorphisme linéaire_ est une [[application linéaire]] d'un [[espace vectoriel]] dans lui même.
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> [!definition] endomorphisme linéaire
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> Soient $E$ et $F$ des $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel|espaces vectoriels]]
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> Soit $f : E \to F$
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> $f$ est un **endomorphisme linéaire** ssi :
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> - $f$ est une [[application linéaire]]
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> - $E = F$ (soit $f: E \to E$)
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^definition
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> [!definition] Autre définition
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> Un **endomorphisme linéaire** est un [[morphisme de groupes]] d'un [[espace vectoriel]] dans lui-même
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> > [!info] Remarque
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> > On montre que toute [[application linéaire]] d'un [[espace vectoriel]] dans lui-même est un [[morphisme de groupes]].
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# Propriétés
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- toute [[application linéaire]] de $E \to E$ est un endomorphisme linéaire (et donc un [[morphisme de groupes]])
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Sur un _endomorphisme linéaire_, on a la suite d'équivalences suivante :
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$f$ est [[injection|injective]].
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$\iff$ $\ker f = \{0_E\}$
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$\iff$ $\dim\ker f = 0$
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$\iff$ $\dim \text{Im } f = \dim E$ (car on sait que $\dim\ker f + \dim\text{Im } f = \dim E$)
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$\iff$ $\text{Im } f = E$
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$\iff$ $f$ est [[surjection|surjective]]
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$\iff$ puisque $f$ est [[injection|injective]] et [[surjection|surjective]], elle est [[bijection|bijective]].
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Donc, il suffit qu'une [[application linéaire]] sur un _endomorphisme linéaire_ respecte une de ces propriétés soit vraie pour que l'application soit [[bijection|bijective]].
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**Théorème :** Soit $E$ un [[espace vectoriel]] réel de dimension finie, et $f$ un _endomorphisme linéaire_ de $E$, on a : $f$ [[injection|injective]] $\iff$ $f$ [[surjection|surjective]] $\iff$ $f$ [[bijection|bijective]]
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> [!query] Sous-notes de `=this.file.link`
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> ```dataview
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> LIST title
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> FROM -#cours AND -#exercice AND -"daily" AND -#excalidraw AND -#MOC
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> WHERE any(map([up, up.up, up.up.up, up.up.up.up], (x) => econtains(x, this.file.link)))
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> WHERE file != this.file
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> SORT up!=this.file.link, up.up.up.up, up.up.up, up.up, up, file.name
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> ```
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