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up:: [[distance]], [[norme]]
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#s/maths/algèbre
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Soit $E$ un [[espace vectoriel]]
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Soit $\|\cdot\|$ une [[norme]] sur $E$
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Soit l'application :
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$\begin{align} d :& E\times E \to \mathbb{R}\\ &(x, y) \mapsto \|x -y\| \end{align}$
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On cherche à montrer que $d$ est une [[distance]].
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$\forall x, y \in E, \quad d(x, y) = \|x-y\| \geq 0$ donc $d$ est bien positive
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$\forall x, y \in E$ on a :
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$\begin{align} d(x, y) =0 &\iff \|x-y\| = 0_{\mathbb{R}} \\ &\iff x - y = 0_{E} \\ &\iff x = y \end{align}$
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Donc la séparation est bien vérifiée ($\forall x, y \in E, \quad d(x, y) = 0 \implies x = y$) et un point est bien à distance nulle de lui-même ($\forall x, y \in E, \quad x = y \implies d(x, y) = 0$)
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$\forall x, y \in E$ on a :
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$\begin{align} d(y, x) &= \|y-x\| \\&= \|(-1)(x-y)\| \\&= |-1|\cdot\|x-y\| & \text{homogénéité} \\&= \|x-y\| \\&= d(x, y) \end{align}$
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Donc $d$ est bien symétrique
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Soient $x, y , z \in E$
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$$\begin{align}
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d(x, z) &= \|x - z\| \\
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&= \|x - y + y - z\| \\
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&\leq \|x - y\| + \|y - t\| & \text{par l'inégalité trianglulaire}\\
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&\leq d(x, y) + d(y, z)
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\end{align}
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$$
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Donc $d$ respecte l'inégalité trianglulaire.
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Alors, comme $d$ respecte les axiomes de séparation,
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