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up::[[axiomatique]]
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#s/maths #s/maths/logique
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> [!definition] Définition de $\mathbb{Z}$
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> $\mathbb{Z} = \mathbb{N}^{*} \cup \{ 0 \} \cup (-\mathbb{N}^{*})$
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^definition
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# Opérations
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On sait que, sur $\mathbb{N}$ :
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- Si $x \leq y$, il existe $z$ tel que $y = x+z$
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On étend l'addition à $\mathbb{Z}$ par :
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- Si $b \leq a, a+(-b) := c$ où $a = b+c$ (l'existence de $c$ découle du théorème précédent)
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- Si $b > a, a+(-b) := -c$ où $a = b + c$
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- $(-a) + (-b) := -(a+b)$
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On étend la multiplication à $\mathbb{Z}$ par :
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- $a \cdot (-b) := -(ab)$
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- $(-a)\cdot(-b):= a\cdot b$
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On vérifie que $(\mathbb{Z}, +, \cdot)$ est un [[anneau commutatif]]
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