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share_updated: 2025-05-13T19:14:06+02:00
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up: "[[mémoire L3 maths]]"
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tags:
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- "#s/fac"
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- "#s/maths/graphes"
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# Définition des graphes
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- $\underline{n} := [\![1; n]\!] = \{ 1, 2, \dots, n \}$ pour $n \in \mathbb{N}^{*}$
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- $X :=\begin{pmatrix}\underline{n}\\ 2\end{pmatrix} = \mathscr{P}_{2}(\underline{n})$ les parties de $\underline{n}$ à 2 éléments
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- $\mathcal{G}_{n} := \{ 0, 1 \}^{X}$ ensemble des graphes étiquettés à $n$ sommets (fonctions de $X \to \{ 0, 1 \}$)
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- $\Gamma \in \mathcal{G}_{n}$ un graphe
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- $E := \{ e \in X \mid \Gamma(e) = 1 \}$ l'ensemble des arrêtes de $\Gamma$
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- on assimile un graphe à l'ensemble de ces arrête : $\Gamma = \{ e_1, \dots, e_{t} \}$
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- $S_{n} \backslash \backslash \mathcal{G}_{n} = \mathfrak{S}_{n} \backslash \backslash \mathcal{G}_{n}$ l'ensemble des graphes simples à $n$ sommets (non-étiquettés, donc stables par permutation des sommet : les classes d'équivalences de $\mathcal{G}_{n}$ par isomorphisme)
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## Graphes particuliers
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### Graphes réguliers
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- $\mathcal{R}_{n, k} := \{ \Gamma \in \mathcal{G}_{n} \mid \forall i \in \underline{n},\quad \operatorname{deg}_{\Gamma}(i) = k \}$ ensemble des graphes $k$-réguliers à $n$ sommets
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- $S_{n} \backslash \backslash \mathcal{R}_{n, k} = \mathfrak{S}_{n} \backslash \backslash \mathcal{R}_{n, k}$ l'ensemble des graphes simples $k$-réguliers à $n$ sommets (non-étiquettés)
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- c'est l'ensemble des classes d'équivalences par isomorphisme de graphes
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### Graphes connectés
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- graphe connecté (connected) : si toute paire de sommets est connectée par une chaîne
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- les "composants connexes" sont les classes d'équivalence par la relation "sont reliés par une chaîne"
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- un sommet de degré $0$ est un "composant trivial" (trivial component)
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- $\mathcal{G}_{n}^{*}$ l'ensemble des graphes
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- $\mathcal{R}_{n, k}^{*} := \{ \Gamma \in \mathcal{R}_{n, k} \mid \Gamma \text{ est connecté} \}$ l'ensemble des graphes étiquettés $k$-réguliers connectés
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### Autres
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pour $n \in \mathbb{N}^{*}$ et $k, t \in \mathbb{N}$ avec $k < n$ et $t \geq 3$, on définit :
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- $\mathcal{G}_{n, k} := \{ \Gamma \in \mathcal{G}_{n} \mid \forall i \in \underline{n},\quad \operatorname{deg}_{\Gamma}(i) \leq k \}$
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- $\mathcal{G}_{n, k}^{*} := \{ \Gamma \in \mathcal{G}_{n}^{*} \mid \forall i \in \underline{n},\quad \operatorname{deg}_{\Gamma}(i) \leq k \}$
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- $\mathcal{R}_{n, k, t} := \{ \Gamma \in \mathcal{R_{n, k}} \mid \operatorname{girth}(\Gamma) \geq t \}$ les graphes $k$-réguliers à $n$ sommets et de [[maille d'un graphe|maille]] au moins $t$
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- $\mathcal{R}_{n, k, t}^{*} := \{ \Gamma \in \mathcal{R}_{n, k}^{*} \mid \operatorname{girth}(\Gamma) \geq t \}$ les grraphes connectés $k$-réguliers à $n$ sommets et de maille au moins $t$
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Chacune des propriétés définissant ces ensembles est invariante par isomorphisme.
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# Propriétés des graphes
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- $\displaystyle \operatorname{deg}(i) = \operatorname{deg}_{\Gamma}(i) := \sum\limits_{\substack{j \in \underline{n}\\ j \neq i}} \Gamma(\{ i, j \})$ le degré d'un sommet $i \in \underline{n}$
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## Chaînes et distances
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### Chaînes
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- Une famille d'éléments de $E$ est une chaîne (trail)
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- Une famille déléments de $E$ sans répétition est une chaîne simple (path)
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- $W = (v_1, v_2, \dots, v_{q-1}, w)$ est la notation pour la chaîne de $v$ vers $w$ qui passe par les arrêtes $(\{ v_1, v_2 \}, \{ v_2, v_3 \}, \dots, \{ v_{q-1}, w \})$
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- $l(W) = q$ la longueur d'une chaîne (son nombre d'arrêtes)
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### Cycles
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- si les extrémités $v$ et $w$ d'une chaîne sont connectées par l'arrête $e = \{ v, w \}$, alors $K := W \cup \{ e \}$ est un cycle
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- $l(K) := q+1$ sa longueur (son nombre de sommets)
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- Si $\Gamma$ n'a pas de cycle plus petit que $K$, alors $K$ est une maille de $\Gamma$ (*girth*)
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- $\operatorname{girth}(\Gamma) := \min \{ l(K) \mid K \text{ un cycle dans } \Gamma \}$ la maille (*girth*) de $\Gamma$ (la taille de son plus petit cycle)
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- si $\Gamma$ ne contient aucun cycle : $\operatorname{girth}(\Gamma) := \infty$
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#### Arbres
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- un graphe étiquetté connecté sans cycles est appelé un arbre (*tree*)
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- les sommets de degré 1 sont appelés "feuilles" (*leaves*)
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- les sommets de degré $> 1$ sont appelés "sommets intérieurs" (*inner nodes*)
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- la racine (*root*) d'un arbre est un sommet intérieur particulier que l'on choisit
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- Un arbre enraciné (*rooted tree*) est un arbre pour lequel on a fixé une racine
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- Soit $\Gamma \in \mathcal{G}_{n}^{*}$ un arbre enraciné de racine $1$, soit $v_0$ un sommet tel que $\operatorname{dist}_{\Gamma}(v_0, 1) = d$
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- si $0 < d < \infty$, alors il existe exactement un voisin $v$ de $v_0$ tel que $\operatorname{dist}(v, 1) = d -1$. Ce sommet $v$ est appelé "parent" de $v_0$
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- tous les autres voisins $w$ de $v_0$ sont tels que $\operatorname{dist}_{\Gamma}(w, 1) = d+1$, et ils sont appelés "enfants" de $v_0$
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- $\operatorname{succ}_{1}(v_0) := \{ w \in X \mid \operatorname{dist}_{\Gamma}(w, 1) = \operatorname{dist}_{\Gamma}(v_0, 1) + 1 \}$ l'ensemble des enfants de $v_0$
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- $\displaystyle\operatorname{succ}_{i+1}(v_0) := \bigcup _{u \in \operatorname{succ}_{i}(v_0)} \operatorname{succ}_{1}(v_0)$
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- $\operatorname{succ}(v_0) = \bigcup _{i=1}^{n} \operatorname{succ}_{i}(v_0)$ l'ensemble des successeurs de $v_0$
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##### arbres couvrants
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- $T_{k, t} \in \mathcal{G}_{f_0(k, t)}$ pour $k \geq 2$, $t \geq 3$ avec $t$ impair tel que $t = 2d +1$
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- $T_{k, t}$ est un arbre
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- a) chaque feuille $v$ à une distance $d$ au nœud 1 : $\mathrm{dist}(v, 1) = d$
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- b) chaque nœud interne $w$ est de degré $k$ : $\mathrm{deg}(w) = k$
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- $T_{k, t}$ est canonique
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- $\overline{T}_{n, k, t}$ le graphe à $n \geq f_0(k, t)$ nœuds que l'on obtient à partir de $T_{k, t}$ en ajoutant $n- f_0(k, t)$ nœuds de degré 0
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- on montre que pour tout graphe $\Gamma \in \mathrm{rep}(S_{n} \backslash\backslash \mathcal{R}_{n,k,t})$ alors $\overline{T}_{n,k,t} \subset \Gamma$
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- et même que $\forall w \in \underline{n}$ il existe un $\pi \in S_{n}$ tel que $w^{\pi} = 1$ et $\overline{T}_{n,k,t} \subset \Gamma^{\pi}$
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### Distances
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- $\operatorname{dist}_{\Gamma}(v, w) := \min \{ l(W) \mid W \text{ une chaîne simple de } v \text{ vers } w \}$ la distance entre deux sommets
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- si aucune chaîne simple n'existe : $\operatorname{dist}_{\Gamma}(v, w) = +\infty$
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- $\operatorname{dist}_{\Gamma}(v, v) = 0$
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- $\operatorname{dist}_{\Gamma}(v, \{ u, u' \}):= \min \{ \operatorname{dist}_{\Gamma}(v, u), \operatorname{dist}_{\Gamma}(v, u') \}$ distance entre le sommet $v$ et l'arrête $\{ u, u' \} \in E$
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## Cages
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- $f(k, t) := \min \{ n \in \mathbb{N} \mid \mathcal{R}_{n, k, t} \neq \emptyset \}$
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- le plus petit nombre de nœuds tels qu'il existe au moins un graphe $k$-régulier de [[maille d'un graphe|maille]] $t$
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- $f(2, t) = t$ pour $t \geq 3$
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- $f(k, 3) = k+1$ pour $t = 3$
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- soit $n_0 = f(k, t)$ alors $S_{n_0} \backslash\backslash \mathcal{R}_{n_0, k, t}(k, t)$ est l'ensemble des $(k, t)$-cages
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- $(k, t)$-cage : graphe $k$-régulier minimal de [[maille d'un graphe|maille]] $t$
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- ici, $f(k, t)$ donne le nombre de nœud minimal nécessaire (par définition)
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- $f_0$ comme lower bound de $f$
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- $f_0(k, t) := \begin{cases} 1 + k \sum\limits_{i=1}^{\frac{t-1}{2}} (k-1)^{i-1},\quad \text{si } t \text{ est impair} \\ 2 \sum\limits_{i=1}^{\frac{t}{2}}(k-1)^{i-1},\quad \text{sinon} \end{cases}$
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- Alors : $\boxed{f(k, t) \geq f_0(k, t)}$
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# Critères d'existence des graphes réguliers
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## Arbres pour l'initialisation
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- $T_{k, t} \in \mathcal{G}_{f_0(k, t)}$ avec $k \geq 2$ et $t \geq 3$
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- Pour $t = 2d +1$ impair :
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1. $\operatorname{dist}(v, 1)=d$ chaque feuille $v$ à une distance $d$ au noeud $1$
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2. $\operatorname{deg}(w) = k$ chaque noeud interne à un degré $k$
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3. $T_{k,t}$ est canonique (def 1.4.6)
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- pour $t=2d+2$ pair :
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1. les noeuds 1 et 2 sont adjacents, et pour chaque feuille $v$, $\operatorname{dist}(v, \{ 1, 2 \}) = d$
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2. $\operatorname{deg}(w) = k$ chaque noeud interne à un degré $k$
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3. $T_{k, t}$ est canonique
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- $\overline{T}_{n,k,t}$ possède $n \geq f_{0}(n, k)$ noeuds, et est obtenu depuis $T_{n,k}$ en ajoutant $n - f_{0}(n, k)$ noeuds de degré 0
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# Génération des graphes réguliers
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- $P(\Gamma) := \{ \Gamma \cup \{ e \} \mid e > \max\{ e' \in \Gamma \} \}$
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- I les graphes que l'on peut obtenir à partir de $\Gamma$ en ajoutant un arrête **plus grande que toutes les autres** dans l'ordre lexicographique
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- $P^{(n)}(\Gamma)$ :
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- $P^{(1)}(\Gamma) = P(\Gamma)$
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## Row criterion
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- Soit $\Gamma \in \mathcal{G}_{n}$ on pose : $\Gamma _{i} := \{ (i, v) \in \Gamma \}$
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- $\Gamma _{i}$ est le graphe composé des arrêtes de $\Gamma$ qui partent de $i$
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- $N_{i} := N_{C_{i}}(\Gamma _{i}) = \{ \pi \in C_{i} \mid \Gamma _{i}^{\pi} = \Gamma _{i}\}$
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- $C_1 := C_{S_{n}}(\{ 1 \})$ le [[centralisateur d'une partie d'un groupe||centralisateur]] de $\{ 1 \}$ dans le [[groupe symétrique]]
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- $C_{i+1} := C_{N_{i}}(\{ 1, \dots, i+1 \}) = \{ \pi \in N_{i} \mid (i+1)^{\pi} = i+1 \}$
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- **semi canonicité** : $\forall i < n,\quad \forall \pi \in C_{i},\quad \Gamma _{i} \leq \Gamma _{i}^{\pi}$
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- canonique $\implies$ semi-canonique
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# Notes
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## Chaines des sims
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Moyen récursif de passer en revue tous les éléments du [[groupe symétrique]].
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- $U_{i}= C_{U}(\{ 1,\dots,i \})$ permutations qui stabilisent $\{ 1, \dots, i \}$ dans $U$ ([[centralisateur d'une partie d'un groupe]])
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- $\displaystyle U_{i-1} = \bigsqcup _{j=1}^{l(i)} u_{i,j}U_{i}$ suite décroissante : $U_{i}, U_{i-1}, U_{i-2}$
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## code:
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- `KAREK(tz)` où `tz` est la profondeur d'appel récursif
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