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up: "[[groupe]]"
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tags: ["#s/maths/algèbre"]
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> [!definition] groupe symétrique d'indice $n$
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> Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$
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> Soit $\mathfrak{S}_{n}$ l'ensemble des [[bijection|bijections]] $\{ 1,\dots,n \} \to \{ 1, \dots, n \}$
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> On appelle **groupe symétrique d'indice $n$** le groupe $(\mathfrak{S}_{n}, \circ)$
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> - Sont élément neutre est $Id_{\{ 1,\dots,n \}}$
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> - L'inverse de $\sigma \in \mathfrak{S}_{n}$ est la bijection [[application réciproque|réciproque]] $\rho$ donnée par $\forall (i, j) \in [\![1, n]\!]^{2}, \quad \rho(i) = j \iff i = \sigma(j)$
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^definition
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# Propriétés
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> [!proposition]+ Cardinal
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> ${\# \mathfrak{S}_{n} = n!}$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > $\sigma(1)$ : $n$ choix, parmi $\{ 1, 2, \dots, n \}$
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> > $\sigma(2)$ : $n-1$ choix, parmi $\{ 1, 2, \dots n \} \setminus \{ \sigma(1) \}$
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> > $\sigma(3)$ : $n-2$ choix, parmi $\{ 1, 2, \dots n \} \setminus \{ \sigma(1), \sigma(2) \}$
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> > $\vdots$
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> > $\sigma(n-1)$ : 2 choix, parmi $\{ 1, 2, \dots, n \} \setminus \{ \sigma(1), \sigma(2), \dots, \sigma(n) \}$
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> > $\sigma(n)$ : 1 seul choix restant
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> >
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> > D'où suit que le nombre d'éléments de $\mathfrak{S}_{n}$, qui est le nombre de manières de choisir $\sigma(1), \sigma(2), \dots , \sigma(n-1)\text{ et } \sigma(n)$ , est $n!$
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> >
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> [!proposition]+ Commutativité
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> - Les groupes symétriques d'indice $n \leq 2$ sont commutatifs
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> - Les groupes symétriques d'indice $n \geq 3$ sont non-commutatifs
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# Exemples
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$\mathfrak S_2 = \left\{ \begin{pmatrix}1&2\\1&2\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix} \right\}$
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$\mathfrak S_3 = \left\{ \begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}\right\}$
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