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alias: ["arcsin", "arcsinus"]
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up::[[fonction sinus]]
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sibling:: [[fonction arccosinus]]
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title:: $\arcsin$
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derivative:: $\frac{1}{\sqrt{ 1 - x^{2} }}$
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#s/maths/analyse #s/maths/trigonométrie
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La fonction arcsin est la [[application réciproque]] de la fonction [[fonction sinus]].
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$$
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\begin{align*}
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\arcsin :\; & [-1; 1] \to \left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]\\
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&y \mapsto x \text{ tel que } y=\sin(x)
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\end{align*}
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$$
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# Définition
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$\sin$ est définie sur $\mathbb{R}$, et n'est pas [[bijection|bijective]] sur cet ensemble.
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Mais si on la limite à certains intervalles, elle peut être bijective.
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En particulier, sur $\left[-\dfrac\pi2; \dfrac\pi2\right]$, elle est [[application continue|continue]] et [[fonction monotone|strictement monotone]], elle est donc [[bijection|bijective]], et donc possède une réciproque, la fonction $\arcsin$
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> [!définition]
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> $$\begin{aligned}
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> \sin: &\left[-\dfrac\pi2; \dfrac\pi2\right] \rightarrow \left[-1; 1\right]\\
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> &x \mapsto \sin(x)\\
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> &\\
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> \arcsin: &[-1; 1] \rightarrow \left[-\dfrac\pi2; \dfrac\pi2\right]\\
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> &x \mapsto y\text{ tel que }\sin(y) = x \text{ et } y\in\left[-\dfrac\pi2; \dfrac\pi2\right]\\
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> \end{aligned}$$
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- [p] $\forall x\in\left[-\dfrac\pi2; \dfrac\pi2\right], \sin(\arcsin(x)) = x$
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- [!] $\forall x\in\mathbb{R}, \arcsin(\sin(x))\neq x$ (en général)
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- [p] $\forall x\in\left[\dfrac\pi2; \dfrac\pi2\right], \arcsin(\sin(x)) = x$ (seul cas où c'est égal)
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# Notes
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$\cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1 - x^2}$
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$\sin(\arccos(x)) = \sqrt{1 - x^2}$
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# Dérivée
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La [[dérivation|dérivée]] de $\arccos$ peut être calculée grâce à la formule de [[dérivation]] d'une fonction réciproque :
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$(f^{-1})'(x) = \dfrac1{f'(f(x))}$
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$$\begin{aligned}
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\arcsin'(x) &= \dfrac1{\sin'(\arcsin x)}\\
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&= \dfrac1{\cos(\arcsin x)}\\
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&= \dfrac1{\sqrt{\cos^2(\arcsin x)}}\\
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&= \dfrac1{\sqrt{1 - \sin^2(\arcsin x)}}\\
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&= \dfrac1{\sqrt{1-x^2}}
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\end{aligned}$$
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(Voir [[dérivation]], notamment la dérivée d'une fonction réciproque)
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# Equations avec des arcsinus
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$$\arcsin x = y \iff \left\{ \begin{array}{l} x = \sin y\\\text{et}\\y \in \left[-\dfrac\pi2; \dfrac\pi2\right] \end{array} \right.$$
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