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sr-due: 2022-09-21
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sr-interval: 29
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sr-ease: 291
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alias: [ "déterminant" ]
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up::[[matrice]]
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#s/maths/algèbre
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Soit $A$ une [[matrice]].
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On note $\det(A)$ le _déterminant_ d'une matrice.
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# Définition
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## Matrices de taille 2
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Soit $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$
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$\det A = ad - bc$
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## Matrices de taille 3
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### Méthode de Sarrus
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$$\begin{align}
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\det A &= \left|\begin{array}{cc}
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a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
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a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
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a_{31}&a_{32}&a_{33}
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\end{array}\right|\\
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&= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{34} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{31}a_{22}a_{13} - a_{32}a_{23}a_{11} - a_{33}a_{21}a_{12}
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\end{align}$$
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On peut retrouver les coefficients avec le shéma suivant :
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![[déterminant d'une matrice - méthode de Sarrus.excalidraw|100%]]
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### Méthode générale
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La méthode générale permet de calculer les déterminants de n'importe quelle matrice (carrée)
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Cette méthode se base sur une formule de récurrence :
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- On connaît le déterminant d'une matrice $2\times 2$
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- Pour des matrices de taille plus grandes, on applique cette règle :
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- Soit $A$ une matrice de dimension $n\times n$
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- On note $A'_{i,j}$ la matrice obtenue en enlevant la ligne $i$ et la colonne $j$ de la matrice $A$
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- On note $c_{i,j} = (-1)^{i+j}\times\det(A_{i,j})$
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- On a alors :
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- Développement par colonnes : $\disp\det(A) = \sum_{j=1}^n \left(c_{i,j}\times A'_{i,j}\right)$
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- Développement par lignes : $\disp\det(A) = \sum_{i=1}^n \left( c_{i,j}\times A'_{i,j} \right)$
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### Définition en APL
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```apl
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det ← {
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2∧.=⍴⍵:-/×⌿(⌽@2)⍵ ⍝ déterminant d'une matrice 2x2
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⍝ calculer le déterminant de ⍵
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coeffs ← ,1↑[2]⍵ ⍝ première colonne de ⍵ (coefficients utilisés plus tard)
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mat ← 1↓[2]⍵ ⍝ tout sauf la première colonne de ⍵ (développement selon la première colonne)
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⍝ il faut récupérer toutes les sous-matrices carrées de mat obtenues en enlevant une ligne de mat
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nid ← ∘.≠⍨⍳≢⍵ ⍝ négation de la matrice identité de la taille de mat
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⍝ On masque les lignes de mat avec successivement chaque ligne de nid (on enlève à chaque fois une ligne)
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submats ← ⌿∘mat¨↓nid ⍝ on obtient toutes les matrices sur lesquelles on doit faire la récursion
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-/coeffs×∇¨submats ⍝ on obtient ici le déterminant
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}
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```
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# Propriétés
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- Le déterminant d'une matrice possédant 2 lignes ou 2 colonnes proportionelles est **nul**
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- La multiplication d'une ligne ou d'une colonne par un réel $\lambda$ multiplie le déterminant par $\lambda$
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