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alias: "centre"
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up:: [[groupe]]
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#s/maths/algèbre
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> [!definition] [[centre d'un groupe]]
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> Soit $G$ un groupe
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> L'ensemble $Z(G) := \{ g \in G \mid \forall h \in G, \quad gh = hg \}$ de tous les éléments qui commutent
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> est un [[sous groupe]] [[commutativité|commutatif]] appelé le **centre** de $G$
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> On le note $Z(G)$ ou $Z_{G}$
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^definition
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> [!definition] Autrement
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> Soit $(G, *)$ un [[groupe]]
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> Le _centre_ de $G$ est l'ensemble des élément de $G$ qui [[commutativité|commutent]] avec tout élément de $G$
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> C'est l'ensemble $\left\{ x \in G \mid \forall a \in G, x*a = a*x \right\}$
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> [!idea] Intuition
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> Le centre d'un groupe est l'ensemble des éléments commutatif de ce groupe.
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# Propriétés
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> [!proposition]+ Le centre est un sous-groupe
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> Le centre d'un groupe est un sous-groupe [[groupe abélien|abélien]]
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > Soit $G$ un groupe
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> > - On a bien $Z(G) \subseteq G$ par définition
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> > - $\forall g \in G, \quad 1_{G}g = g 1_{G} = g$, donc $1_{G} \in Z(G)$
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> > - Soient $z, z' \in Z(G)$
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> > $\begin{align} \forall g \in G, (zz')g &= z (s'g)\\&= z(gz') & \text{car } z' \in Z(G)\\ &= (zg)z'\\ &= (gz)z' & \text{car } z\in Z(G)\\ &= g(zz') \end{align}$
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> > et donc $zz'$ commute, avec $g$, c'est-à-dire que $zz' \in Z(G)$
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> > - Soit $z \in Z(G)$ et soit $g \in G$
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> > On a $zg = gz$, donc $g = z^{-1}gz$ et donc $gz^{-1} = z^{-1} g$
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> > ainsi, on a $z^{-1} \in Z(G)$
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> > Donc $Z(G)$ est stable par inversion
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> > Et donc, $Z(G)$ est bien un [[sous groupe]] de $G$
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> >
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^sous-groupe-abelien
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> [!proposition]+ Le centre est distingué
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> Soit $G$ un groupe
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> $Z(G) \trianglelefteq G$ (le centre de $G$ est [[sous groupe distingué|distingué]] dans $G$)
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>
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > $Z(G) = \{ z \in G \mid \forall g \in G,\quad zg = gz \}$
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> > On sait que [[centre d'un groupe#^sous-groupe-abelien|le centre d'un groupe est un sous-groupe abélien]].
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> > $\forall z \in Z(G), \forall g \in G,\quad gzg^{-1} = gg^{-1}z = z \in Z(G)$
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> > Donc $Z(G) \trianglelefteq G$
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^distingue
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