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- "[[M1 LOGOS . logique . calculer]]"
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> [!definition] Définition
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> Soit $V$ un ensemble (de symboles de variables).
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> On demande que $V$ soit disjoint de l'ensemble $L$ des symboles logiques.
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> Les **formules** sont des [[langage formel mot|mots]] de l'alphabet $V \cup L$ c'est-à-dire des suites finies d'éléments de $V \cup L$
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^definition
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> [!definition]
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> $\mathcal{F}_{v}$ est le plus petit ensemble de mots vérifiant les propriétés suivantes
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> - $[0] \in \mathcal{F}_{v}$
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> - $[1] \in \mathcal{F}_{v}$
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> - si $v \in V$ alors $[v] \in \mathcal{F}_{v}$
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> - si $f \in F_{v}$ alors $\neg f \in \mathcal{F}_{v}$
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> - si $f_1, f_2 \in F_{v}$ alors :
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> - $[\vee f_1 f_2] \in \mathcal{F}_{v}$ sous entendu $(f_1 \vee f_2)$
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> - $[\wedge f_1 f_2] \in \mathcal{F}_{v}$ sous entendu $(f_1 \wedge f_2)$
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> - $[\implies f_1 f_2] \in \mathcal{F}_{v}$ sous entendu $(f_1 \implies f_2)$
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> - $[\iff f_1 f_2] \in \mathcal{F}_{v}$ sous entendu $(f_1 \iff f_2)$
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# Propriétés
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> [!proposition]+ Théorème
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> Pour toute formule $f \in \mathcal{F}_{v}$
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> une et une seule des assertions suivantes est verrifée :
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> 1. $f = [0]$
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> 2. $f = [1]$
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> 3. $\exists v \in V,\quad f = [v]$
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> 4. $\exists f' \in \mathcal{F}_{v},\quad f = \neg f'$
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> 5. $\exists f_1, f_2 \in \mathcal{F}_{v},\quad f = [\vee f_1 f_2]$
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> 6. $\exists f_1, f_2 \in \mathcal{F}_{v},\quad f = [\wedge f_1 f_2]$
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> 7. $\exists f_1, f_2 \in \mathcal{F}_{v},\quad f = [\implies f_1 f_2]$
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> 8. $\exists f_1, f_2 \in \mathcal{F}_{v},\quad f = [\iff f_1 f_2]$
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> De plus :
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> - dans 3. $v$ est unique et déterminé
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> - dans 4. $f'$ est unique et déterminé
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> - dans 5. 6. 7. et 8. $f_1$ et $f_2$ sont uniques et déterminés
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> [!proposition]+
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> On définit une fonction $p$ qui à un symbole associe un poids :
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> $p(0) = p(1) = p(v) = -1$ pour tout $v \in V$
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> $p(\neg) = 0$
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> $p(\wedge) = p(\vee) = p(\implies) = p(\iff) = 1$
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> $p(\emptyset) = 0$
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> Puis par réccurence, avec $m = [a_1, \dots ,a_{n}]$ avec $a_{i} \in V \cup L$
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> $p(m) = p(a_1) + \cdots + p(a_{n})$
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>
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> A a alors le théorème suivant :
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> Un mot $f$ est une formule si et seulement si on a :
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> 1. $p(f) = -1$
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> 2. pour tout préfixe $f'$ de $f$, $f' \neq f$ on a $p(f') \geq 0$
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>
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> > [!corollaire]
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> > Un préfixe $f'$ d'une formule $f$ (tel que $f' \neq f$) n'est pas uen formule.
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