cours/transformée de Fourier.md

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[!definition] Définition Soit f \in \mathscr{L}_{\lambda}^{1}(\mathbb{R}) une fonction mesurable avec \int_{\mathbb{R}} |f| \, d\lambda On lui associe sa transformée de Fourier, notée \hat{f} et définie par : \begin{align} \hat{f}(t) &= \int_{\mathbb{R}} f(x)e^{itx} \, \lambda(dx) \\ &= \int_{\mathbb{R}} f(x)\cos(tx) \, \lambda(dx) + i\int_{\mathbb{R}} f(x)\sin(tx) \, \lambda(dx) \end{align} ^definition

Propriétés

[!proposition]+ Si \hat{f} est définie et continue sur \mathbb{R} Si \displaystyle\int_{\mathbb{R}} |xf(x)| \, \lambda(dx) < +\infty, alors :

• f est de classe \mathscr{C}^{1}
• \displaystyle \hat{f}'(t) = \int_{\mathbb{R}} ix f(x) e^{ itx } \, \lambda(dx)

Exemples