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up:: théorème de factorisation des morphismes #s/maths/algèbre

[!proposition]+ théorème d'isomorphisme Soit f : G \to G' un morphisme de groupes Alors G / (\ker f) \simeq \mathrm{im} f

• ! On a pas en général G \simeq \ker f \times \operatorname{im} f
  • = \mathfrak{S}_{3} est non-commutatif, mais \mathfrak{A}_{3} \times \{ Id \} est commutatif

[!démonstration]- Démonstration

• i Ce théorème peut être vu comme un corollaire du théorème de factorisation des morphismes

On applique le théorème de factorisation des morphismes avec H := \ker f \trianglelefteq G

le morphisme \bar f : G / \ker f \to \mathrm{im} f est injectif car H = \ker f, et est surjectif car \mathrm{im}\bar f = \mathrm{im} f ^theoreme