cours/suite extraite.md

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suite extraite sous-suite

up::suite #s/maths/analyse

[!definition] Soit (u_{n}) une suite Une sous suite de (u_{n}) (ou suite extraite) est une suite de la forme : \left( u_{\varphi(n)} \right)_{n \in \mathbb{N}} où \varphi : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} est strictement croissante ^definition

Propriétés

Soit (u_{n}) une suite Soit \left( u_{\varphi(n)} \right)_{n \in \mathbb{N}} une sous-suite de (u_{n})

[!proposition]+ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} u_{n} = l \implies \lim\limits_{n \rightarrow \infty} u_{\varphi(n)} = l si u_{n} converge, alors toutes ses sous-suites convergent vers la même limite. démonstration une suite extraite d'une suite convergente converge vers la même limite ^meme-limite-suite-extraite

[!proposition]+ \lim\limits_{n \to \infty} u_{n} = l \iff \forall \varphi \in \mathbb{N}^{\mathbb{N}}, \lim\limits_{n \to \infty} u_{\varphi(n)} = l (u_{n}) converge vers l ssi toute sous-suite de (u_{n}) converge vers l