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up::vecteur title::$\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}\wedge \begin{pmatrix}x'\y'\z'\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}yz'-y'z\zx'-z'x\xy'-x'y\end{pmatrix}$ description::"u \wedge v \wedge w = volume du parallélépipède porté par $u, v, w$" #s/maths/géométrie #s/maths/algèbre

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Le produit vectoriel de deux vecteur \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} est noté : \overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v}

[!definition]

\displaystyle \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} x'\\y'\\z'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} yz' - y'z\\zx'-z'x\\xy'-x'y \end{pmatrix}

• [!] le produit vectoriel n'existe que pour des vecteur en dimension 3
• [i] le produit vectoriel n'est pas associativité ni commutativité ^definition

[!idea] Calcul !produit vectoriel 2022-12-28 18.55.05.excalidraw

Propriétés

• u \wedge v = -(v \wedge u)

  • vient des propriétés du déterminant d'une matrice (inverser deux colonnes fait l'oppposé)

• u \wedge u = \vec{0}

  • obligatoire car un déterminant d'une matrice avec 2 colonnes identiques est nul
  • obligatoire car (u \wedge u) = -(u \wedge u) par inversion

• (u \wedge v) \bot u et (u \wedge v) \bot v

  • le produit vectoriel permet de trouver un nouveau vecteur vecteurs orthogonaux à deux autres

• (a + b) \wedge v = (a \wedge v) + (b \wedge v) le produit vectoriel est distributivité (des deux côtés)

• \|\vec{u} \wedge \vec{v}\| = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \sin\left( \widehat{\vec{u}, \vec{v}} \right)

  • analogue au produit scalaire, mais avec un \sin à la place du \cos
  • la direction est connue car (u \wedge v) \bot u et (u \wedge v) \bot v

• \|u \wedge v \wedge w\| = \left| \det \left( u; v; w \right) \right| (voir l'produit vectoriel#Interprétation géométrique)

Interprétation géométrique

La norme du produit vectoriel de 3 vecteurs donne le volume d'un parallélépipède (non nécessairement rectangle) dont les côtés portent ces 3 vecteurs

Cela fonctionne aussi en dimension 2, avec deux vecteurs sur un même plan.