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sr-due: 2023-02-14
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sr-interval: 192
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sr-ease: 295
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alias:
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- permuter
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aliases:
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- permuter
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- permutations
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up::[[algèbre]]
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#s/maths/algèbre
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> [!definition]
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> Une permutation est une [[bijection]] d'un ensemble dans lui-même.
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> Notamment, une permutation de $n\in\mathbb N$ éléments est une [[bijection]] d'un ensemble fini de [[cardinal d'un ensemble|cardinal]] $n$ sur lui-même.
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>
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> On parle généralement des permutations sur un intervalle $[\![1;n]\!]$.
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^definition
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- I Une _permutation_ représente le réarrangement d'objets.
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```breadcrumbs
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title: "Sous-notes"
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type: tree
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collapse: false
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show-attributes: [field]
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field-groups: [downs]
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depth: [0, 0]
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```
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# Notation
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On note $\mathfrak S_n$ l'ensemble des permutations sur $[\![1;n]\!]$.
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un élément $\sigma\in\mathfrak S_n$ se note :
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$\begin{pmatrix}1&2&\cdots&i&\cdots&n\\\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(i)&\cdots&\sigma(n)\end{pmatrix}$
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- exemple de permutations sur $\mathfrak S_3$ :
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- - permutation identité :
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- $id_3: \begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}$
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- ici, $id(1) = 1$, $id(2)=2$, $id(3)=3$
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- - autres permutations :
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- $s_1: \begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}$
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- $s_2: \begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}$
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- $s_3: \begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}$
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- $s_4: \begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}$
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- $s_5: \begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}$
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- $s_6: \begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}$
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- Soient $(\sigma, \phi)\in(\mathfrak S_n)^2$, on note $\sigma\circ \phi$ la [[composition de permutations|composition des permutations]] $\sigma$ et $\phi$, qui est l'application **d'abord de $\phi$** puis de $\sigma$
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- elle est équivalente à la composition des fonctions associées
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- $\sigma^n$ la composée $n$ fois de $\sigma$ avec elle-même
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- $\sigma^0 = id$
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- $\sigma^1 = \sigma$
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- $\sigma^n = \sigma\circ\sigma^{n-1}$
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- Permutation réciproque : $\sigma^{-1}$
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- $\forall n, \sigma(\sigma^{-1}(n)) = \sigma^{-1}(\sigma(n)) = n$
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- comme une généralisation de $\sigma^n$
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- parce que cela correspond à la [[application réciproque]] (notée $f^{-1}$ aussi)
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