cours/orthogonal d'un sous espace vectoriel.md

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up:: espace préhilbertien, sous espace vectoriel title:: "ensemble des vecteurs orthogonaux à tous les vecteurs d'un sous espace vectoriel", "$F^{\bot} = { u \in E \mid \forall f \in F, \quad \langle u, f\rangle = 0 }$" #s/maths/algèbre

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[!definition] Orthogonal d'un sous espace vectoriel Soit (E, \langle.\rangle) un espace préhilbertien Soit F \subset E un sous espace vectoriel de E On appelle orthogonal de $F$ l'ensemble : F^{\bot} := \{ v \in E \mid \forall f \in F, \quad u \bot f \} On définit l'vecteurs orthogonaux avec le produit scalaire : F^{\bot} := \{ v \in E \mid \forall f \in F, \quad \langle u, f\rangle=0 \} ^definition

Propriétés

Soit (E, \langle . \rangle) un espace préhilbertien Soit F un sous espace vectoriel de E

• F^{\bot} est aussi un sous espace vectoriel de E

• en dimension finie :

  • F \oplus F^{\bot} = E
    • F et F^{\bot} sont sous espaces vectoriels supplémentaires dans E
  • (F^{\bot})^{\bot} = F
  • F \subset G \iff F^{\bot} \supset G^{\bot}