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[!definition] norme d'algèbre Une norme \|\| sur une $\mathbb{R}$-structure d'algèbre E est dite norme d'algèbre si : \forall x, y \in E \quad \|x\cdot y\| \leq \|x\|\cdot \|y\| ^definition

Propriétés

Exemples

[!example] sur \mathbb{R}^{n} On peut munir \mathbb{R}^{n} d'une structure d'algèbre en définissant \times : \forall x, y \in \mathbb{R}^{n},\quad x \times y = (x_1, x_2 , \dots ,x_{n}) \times (y_1, y_2, \dots, y_{n}) = (x_1y_1, x_2y_2, \dots, x_{n}y_{n}) le produit dimension par dimension. On peut alors vérifier que \|\cdot\|_{\infty} la norme infini est une norme d'algèbre : On a pour 1 \leq k \leq n : |x_{k}y_{k}| = |x_{k}| |y_{k}| \leq \|x_{k}\|_{\infty} \|y_{k}\|_{\infty} Ainsi, en prenant le maximum, on obtient : \|x_{k}y_{k}\|_{\infty} \leq \|x_{k}\|_{\infty}\|y_{k}\|_{\infty}