cours/matrice hessienne.md

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points critiques d'une fonction fonction de plusieurs variables	#s/maths/analyse

[!definition] matrice hessienne Soit une fonction \begin{align} f :\;& \mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}\\&(x_1, x_2, \dots ,x_{n}) \mapsto f(x_1,\dots,x_{n}) \end{align}

Dont toutes les dérivée partielle secondes existent. La matrice hessienne de f, H(f) est définie comme :

\displaystyle H_{ij}(f) = \frac{ \partial f }{ \partial x_{i} \partial x_{j} }

Donc :

$$ H(f) = \begin{pmatrix} \dfrac{ \partial f }{ \partial {x_1}^{2} } & \dfrac{ \partial f }{ \partial x_1 \partial x_2 } & \cdots & \dfrac{ \partial f }{ \partial x_1 \partial x_{n} } \ \dfrac{ \partial f }{ \partial x_2 \partial x_1 } & \dfrac{ \partial f }{ \partial x_2 \partial x_2 } & \cdots & \dfrac{ \partial f }{ \partial x_2 \partial x_{n} } \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ \dfrac{ \partial f }{ \partial x_n \partial x_1 } & \dfrac{ \partial f }{ \partial x_n \partial x_2 } & \cdots & \dfrac{ \partial f }{ \partial x_n \partial x_{n} } \ \end{pmatrix}

Le [[déterminant hessien]] permet de déduire des propriétés sur la fonction (points critiques)

^definition

[!definition] Définition par rapport au gradient d'une fonction Soit \nabla f le gradient d'une fonction de f, on a : H_i(f) = \dfrac{ \partial \nabla f }{ \partial x_{i} } Soit : \displaystyle H_{ij}(f) = \frac{ \partial }{ \partial x_{i} } \left( \nabla f \right)_{j}

Propriétés

• déterminant hessien

[!proposition]+ Soit \Omega \subset \mathbb{R}^{n} un ouvert Soit f : \Omega \to F différentielle seconde en x \in \Omega \forall h, k \in \mathbb{R}^{n} on a : \mathrm{d}^{2}f(x)(h, k) = \,^T\!h \cdot \operatorname{Hess}f(x) \cdot k = \left\langle h, \operatorname{Hess}(f) \cdot k\right\rangle Et d'après le théorème de schwarz on sait que \operatorname{Hess}f est matrice symétrique, et donc que : \mathrm{d}^{2}f(x)(h, k) = \left< h \cdot \operatorname{Hess}(f), k \right>