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[!definition] Définition Soit
\lambda \in \mathbb{R}^{+}(\lambda \geq 0) Une variable aléatoire réelle suit une loi géométrique de paramètre\lambdasi :\boxed{\mathbb{P}_{X} = \sum\limits_{k \geq 0}e^{ -\lambda } \frac{\lambda^{k}}{k!} \delta _{k}}On note alorsX \sim \mathcal{P}(\lambda)^definition
Propriétés
[!proposition]+ Additivité Si
X \sim \mathcal{P}(\lambda),\quad \lambda\geq 0etY \sim \mathcal{P}(\mu),\quad \mu\geq 0EtXetYsont indépendantes AlorsX + Y \sim \mathcal{P}(\lambda+\mu)[!démonstration]- Démonstration soit
k \in \mathbb{N}P(X + Y < k) = ?\{ \{ Y = l \} \mid l \in \mathbb{N}\}forme un système complet d'événements, donc par la formule des probabilités totales :\begin{align} \mathbb{P}(X + Y = k) &= \sum\limits_{l \geq 0}\mathbb{P}(X+Y = k \text{ et } Y = l) \\&= \sum\limits_{l \geq 0} \mathbb{P}(X=k-l \text{ et } Y = l) \\&= \sum\limits_{l=0}^{k} \mathbb{P}(X = k-l)\mathbb{P}(Y = l) & \text{car } X \text{ et } Y \text{ sont indépendantes} \\&= \sum\limits_{l=0}^{k} \left( e^{ -\lambda } \frac{\lambda^{k-l}}{(k-l)!} \cdot e^{ \mu } \frac{\mu^{l}}{l!} \right) \\&= \frac{e^{ -(\lambda+\mu) }}{k!} \sum\limits_{l=0}^{k} \binom{k}{l} \mu^{l}\lambda^{k-l} \\&= e^{ -(\lambda+\mu) } \frac{(\lambda+\mu)^{k}}{k!} & \text{par le binôme de Newton} \end{align}D'où il appert queX + Y \sim \mathcal{P}(\lambda + \mu)
[!proposition]+ espérance Soit
X \sim \mathcal{P}(\lambda)pour\lambda \geq 0On a :\boxed{\mathbb{E}(X) = \lambda}