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isomorphisme de groupes isomorphisme	morphisme de groupes isomorphisme	#s/maths/algèbre

[!definition] isomorphisme de groupes Un isomorphisme est un morphisme de groupes bijection. ^definition

• i S'il existe un isomorphisme entre les groupes A et B, on dit qu'ils sont groupes isomorphes, et on note A \simeq B
  • voir groupes isomorphes

Propriétés

[!proposition]+ réciproque Si f : G \to H est un isomophisme alors f^{-1} : H \to G est un isomophisme aussi

[!démonstration]- Démonstration On sait déjà que f^{-1} est une bijection puisque f en est une. Il ne reste plus qu'a montrer que f^{-1} est un morphisme. Soient x, y \in H, on veut montrer que : f^{-1}(xy) = f^{-1}(x)f^{-1}(y) Puisque f est bijection, on a : f^{-1}(xy) = f^{-1}(x)f^{-1}(y) \iff xy = f(f^{-1}(x)f^{-1}(y)) Or, f est un morphisme, donc f(f^{-1}(x)f^{-1}(y)) = f(f^{-1}(x))f(f^{-1}(y)) = xy Donc, par équivalence, on a bien f^{-1}(xy) = f^{-1}(x)f^{-1}(y), c'est-à-dire que f^{-1} est bien un morphisme Comme f^{-1} est un morphisme et qu'il est bijectif, c'est bien un isomorphisme. ^isomorphisme-reciproque

Exemple

Sur (\mathbb{R},+), la fonction \ln est un isomorphisme de groupes $$\begin{align} \ln :& (\mathbb{R}, +) \mapsto (\mathbb{R},\times)\ & x \mapsto \ln(x) \end{align}$$ Et la réciproque de \ln, \exp : $$\begin{align} \exp :& (\mathbb{R}, \times) \mapsto (\mathbb{R}, +)\ & x \mapsto e^x \end{align}$$ Puisque \ln et sa réciproque sont tous les deux des morphisme de groupes.

• = \exp est un isomorphisme de \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{*}_{+} et aussi de \mathbb{C} \to \mathbb{C}^{*}