cours/espace probabilisé.md

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modèle probabiliste	probabilités	s/maths/probabilités

[!definition] Définition Un espace probabilisé est donné par un triplet fondamental : (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})

• \Omega l'ensemble des issues
  • \omega \in \Omega est une issue
• \mathcal{A} l'ensemble des événements
  • \mathcal{A} est une tribu de \Omega
• \mathbb{P} une mesure de probabilité sur \mathcal{A}
  • une application \mathbb{P} : \mathcal{A} \to \mathbb{R} est une probabilité si :
    • \mathbb{P} positive
    • \mathbb{P}(\Omega) = 1
    • $\sigma$-additivité : Si (A_{i})_{i \in \mathbb{N}} \subset A^{\mathbb{N}} sont 2 à 2 disjoints, alors \mathbb{P}\left( \bigcup _{i \in \mathbb{N}} A_{i} \right) = \sum\limits_{i \in \mathbb{N}} \mathbb{P}(A_{i})
  • autrement dit une probabilité \mathbb{P} est une mesure positive telle que \mathbb{P}(\Omega) = 1 ^definition

[!info] Remarques Pour le modèle (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})

• Si \Omega est fini ou dénombrable, on pourra toujours prendre \mathcal{A} = \mathscr{P}(\mathbb{R})
• Si \Omega = \mathbb{R} on pourra prendre \mathcal{A} = \mathcal{B}(\mathbb{R}) la tribu borélienne sur \mathbb{R}

Propriétés

[!example] Vocabulaire Soit A un événement : A \in \mathcal{A}

• \omega \in A : l'issue \omega réalise A Soient A, B \subset \mathcal{A}
• A \cap B : l'événement réalisé si A et B sont réalisés
• A \cup B : l'événement réalisé si A ou B sont réalisés
• A \subset B : la réalisation de A entraine celle de B
• A^{\complement} le complémentaire de A dans \Omega (est réalisé lorsque A ne l'est pas)
• A \cap B = \emptyset : A et B sont incompatibles

[!proposition]+ cas fini ou dénombrable Soit \Omega = \{ x_{i} \mid i \in I \} où I est fini ou ensemble infini dénombrable Soit \mathcal{A} = \mathscr{P}(\Omega) Alors : \mathbb{P} est une probabilité sur (\Omega, \mathcal{A}) si et seulement si : il existe (p_{i})_{i \in I} tels que :

• \forall i \in I,\quad p_{i} \geq 0
• \sum\limits p_{i} = 1
• \mathbb{P} = \sum\limits_{i \in I} (p_{i}\delta _{x_{i}})

Exemples

[!example] Lancé d'un dé \Omega = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \mathcal{A} = \mathscr{P}(\Omega) A = \text{"le résultat est pair"} B = \text{"le résultat est premier"} alors : A = \{ 2, 4, 6 \} et B = \{ 2, 3, 5 \} ainsi : A \cap B = \{ 2 \} \neq \emptyset donc A et B ne sont pas incompatibles

[!example]+ Rectangle sur [0; 1] Si \Omega = [0; 1] \mathcal{A} = \mathcal{B}([0; 1]) \mathbb{P} = \lambda _{[0; 1]} la mesure de Lebesgue alors (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}) est un espace probabilisé

\left[ \frac{1}{2}; \frac{2}{3} \right] \in A est un événement \mathbb{P}\left( \left[ \frac{1}{2}; \frac{2}{3} \right] \right) = \lambda _{[0; 1]}\left( \left[ \frac{1}{2}; \frac{2}{3} \right] \right) = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6}

[!example]+ Dirac Si (\Omega, \mathcal{A}) = (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})) Pour tout a \in \mathbb{R} on pose : \begin{align} \delta _{a} : \mathcal{B}(\mathbb{R}) &\to \mathbb{R} \\ A &\mapsto \begin{cases} 1 \text{ si } a \in \mathcal{A}\\ 0 \text{ si } a \notin \mathcal{A} \end{cases} \end{align} La mesure de Dirac en a est une probabilité

[!example] lancer d'un dé \Omega = \{ 1, 6 \} \mathcal{A} = \mathscr{P}(\Omega) \mathbb{P} = \frac{1}{6}\delta_1 + \frac{1}{6}\delta_2 + \cdots + \frac{1}{6} \delta_6

probabilité uniforme