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boule	boule fermée	#s/maths/algèbre

[!definition] boule ouverte Soit (X, d) un espace métrique, on appelle boule ouverte de centre x_0 \in X et de rayon r \geq 0 la partie B(x_0, r) de X définie par : B(x_0, r) = \{ x \in X \mid d(x_0, x) < r \} ^definition

[!example] Exemple avec la distance euclidienne !boule ouverte 2024-09-09 10.28.55.excalidraw ^example

[!idea] autres notations pour les boules ouvertes B(x_0, r), B_{r}(x_0), B_{x_0}(r), B^{o}_{r}(x_0)

Propriétés

[!proposition]+ Toute boule ouverte est ouverte Soit (X, d) un espace métrique B(x_0, r) = \{ y\in X \mid d(x_0, x) < r\} est un ouvert de X

[!démonstration]- Démonstration Soit x \in B(x_0, r) si r_{x} = r - d(x_0, x) > 0 on va voir que B(x, r_{x}) \subset B(x_0, r) En effet, si y \in B(x, r_{x}), on a : d(y, x) < r_{x} d(y, x) < r-d(x_0, x) d(x_0, x) + d(x, y) < r d(x_0, y) < r par inégalité triangulaire et donc y \in B(x_0, r) On a bien montré B(x, r_{x}) \subset B(x_0, r)

[!proposition]+ Diamètre Soit (X, d) un espace métrique Le diamètre d'une boule ouverte respecte : \mathop{Diam}(B(p, r)) \leq 2r

[!proposition]+ conditions pour l'inclusion Soit (X, d) un espace métrique Soient x_0, y_0 \in X et r, r' \in \mathbb{R}^{+*} On a : B(x_0, r) \subset B(y_0, r') pour r' \geq r + d(x_0, y_0)

[!proposition]+ Les boules ouvertes génèrent les ouverts Soit (X, d) un espace métrique Tout ouvert de X est une réunion de boules ouvertes. Autrement dit : Pour tout O \subset X ouvert, il existe (p_{i}) \in X^{\mathbb{N}} et (r_{i}) \in {\mathbb{R}^{+}}^{\mathbb{N}} tels que : \displaystyle O = \bigcap _{i \in \mathbb{N}} B(p_{i}, r_{i})

Exemples

• = Voir Exemples de boules