cours/base d'un espace vectoriel.md

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base

up::espace vectoriel title::"famille de vecteurs famille de vecteurs libre et famille de vecteurs génératrice" #s/maths/algèbre

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[!definition] Soit (E, +, \cdot) un espace vectoriel réel, et \{u_1,\ldots,u_k\} une famille de vecteurs de E La famille \{u_1,\ldots,u_k\} est une base lorsqu'elle est simultanément famille de vecteurs génératrice et famille de vecteurs libre. ^definition

Propriétés

Soit E un espace vectoriel Soit B une base de E

• \mathrm{card}\; G = \dim E

Si une famille \{u_1,\ldots,u_k\} est base d'un espace vectoriel (E,+,\cdot), tout vecteur de E se décompose de façon unique sous la forme u = \lambda_1u_1+\cdots+\lambda_ku_k c'est-à-dire comme une combinaison linéaire des vecteurs de cette base.

Soit B=\{u_1,\ldots,u_n\} une famille de n vecteurs de \mathbb{R}^n, On a l'équivalence suivante :

• B est une base de \mathbb{R}^n \iff \det(u_1;\ldots;u_n) \neq 0 C'est-à-dire qu'une famille de vecteurs est une base ssi la matrice formée par ses vecteurs (colonne ou ligne) à un déterminant d'une matrice non nul.

[!query] Sous-notes de =this.file.link

LIST title
FROM -#cours AND -#exercice AND -"daily" AND -#excalidraw AND -#MOC
WHERE any(map([up, up.up, up.up.up, up.up.up.up], (x) => econtains(x, this.file.link)))
WHERE file != this.file
SORT up!=this.file.link, up.up.up.up, up.up.up, up.up, up, file.name