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alias: [ "normal" ]
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up:: [[endomorphisme d'espaces vectoriels]]
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title:: "$f \circ f^{*} = f^{*} \circ f$ (commute avec son [[endomorphisme adjoint|adjoint]])"
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#s/maths/algèbre
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> [!definition] endomorphisme normal
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> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]]
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> Soit $f : E \mapsto E$ un [[endomorphisme linéaire]] de $E$.
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> On note $f^{*}$ l'[[endomorphisme adjoint|adjoint]] de $f$.
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> Alors, $f$ est **normal** ssi $f^{*}\circ f= f \circ f^{*}$
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^definition
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> [!definition] Autre définition
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> $f$ est normal ssi $\forall x \in E, \quad \|f(x)\| = \|f^{*}(x)\|$
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# Propriétés
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- les [[vecteur propre|vecteurs propres]] de $f$
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sont les mêmes que ceux de $f^{*}$
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- tout endomorphisme [[matrice symétrique|symétrique]], [[matrice antisymétrique|antisymétrique]] ou [[matrice orthogonale|orthogonal]] est normal |