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sr-due: 2022-09-15
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sr-interval: 32
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sr-ease: 305
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up::[[analyse]]
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#s/maths/analyse
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# Définition
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Une _courbe paramétrée plane_ est une [[application]] d'un sous-ensemble $D$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}^{2}$
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$$\begin{align*}
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f &: D\subset \mathbb{R} \rightarrow R^2\\
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& t \mapsto f(t)
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\end{align*}$$
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- application qui, à un réel $t$ (le **paramètre**) associe un _point_ du plan
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- On peut aussi écrire que $t \mapsto \begin{pmatrix} x(t)\\y(t) \end{pmatrix}$
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- Si on identifie $\mathbb{R}^2$ à $\mathbb{C}$, on à $t\mapsto x(t)+i \cdot y(t)$
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- On associe alors un nombre à un point du [[plan complexe]]
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**Note :** malgré le nom de _courbe_ paramétrée, c'est bien une [[application]]
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- on remarque notamment que l'on à une information en plus de l'ensemble des points : l'ordre de parcours
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# Notation
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On écrit souvent les équations paramétriques de la manière suivante :
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$$\left\{\begin{gathered}
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x(t)=3\ln(t)\\
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y(t)=2t^{2}+1
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\end{gathered} \right., t\in D$$
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- $x$ et $y$ sont des fonctions de $D$ dans $\mathbb{R}$
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On écrit également :
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$z(t)=e^{it}, t\in D$
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- $z$ est une fonction de $D$ dans $\mathbb{C}$
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# Exemples
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- $t\mapsto (\cos(t); \sin(t)), t\in[0;2\pi[$ paramétrisation du [[cercle trigonométrique]]
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- $t\mapsto(2t-3; 3t+1), t\in R$ paramétrisation de la droite passant par le point $A(-3, 1)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(2, 3)$
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- $\lambda\mapsto\left((1-\lambda)x_{A}+\lambda x_{B}; (1-\lambda)y_{A} + \lambda y_{B}\right)$ paramétrisation du segment $[AB]$
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# Propriétés
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- [[Support d'une courbe paramétrée]]
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- [[multiplicité d'un point d'une courbe paramétrée]]
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## Représentation des fonctions
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Si $f$ est une fonction de $D$ vers $\mathbb{R}$, on peut paramétriser le graphe de $f$.
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On peut donc "_traduire_" $y=f(x)$ sous forme paramétrique :
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$$\left\{\begin{gathered}
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x(t)=t\\
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y(t)=f(t)
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\end{gathered}\right.$$
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```breadcrumbs
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title: "Sous-notes"
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