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alias: [ "orthogonal", "sev orthogonal", "sous espace vectoriel orthogonal", "espace orthogonal" ]
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up:: [[espace préhilbertien]], [[sous espace vectoriel|sev]]
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title:: "ensemble des [[vecteurs orthogonaux]] à tous les vecteurs d'un [[sous espace vectoriel|sev]]", "$F^{\bot} = \{ u \in E \mid \forall f \in F, \quad \langle u, f\rangle = 0 \}$"
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#s/maths/algèbre
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> [!definition] Orthogonal d'un sous espace vectoriel
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> Soit $(E, \langle.\rangle)$ un [[espace préhilbertien]]
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> Soit $F \subset E$ un [[sous espace vectoriel|sev]] de $E$
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> On appelle **orthogonal de $F$** l'ensemble :
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> $F^{\bot} := \{ v \in E \mid \forall f \in F, \quad u \bot f \}$
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> On définit l'[[vecteurs orthogonaux|orthogonalité]] avec le produit scalaire :
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> $F^{\bot} := \{ v \in E \mid \forall f \in F, \quad \langle u, f\rangle=0 \}$
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^definition
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# Propriétés
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Soit $(E, \langle . \rangle)$ un [[espace préhilbertien]]
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Soit $F$ un [[sous espace vectoriel|sev]] de $E$
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- $F^{\bot}$ est aussi un [[sous espace vectoriel|sev]] de $E$
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- **en dimension finie :**
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- $F \oplus F^{\bot} = E$
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- $F$ et $F^{\bot}$ sont [[sous espaces vectoriels supplémentaires|supplémentaires]] dans $E$
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- $(F^{\bot})^{\bot} = F$
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- $F \subset G \iff F^{\bot} \supset G^{\bot}$
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