cours/fonction dominée en un point.md

alias

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domination dominée

up::fonction sibling::fonction négligeable devant une autre, fonctions équivalentes title::"$f = \mathcal{O}{x{0}}(g) \iff \dfrac{f}{g} \text{ est bornée au voisinage de } x_{0}$" #s/maths/analyse

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[!definition] fonction dominée Soient deux fonction f et g de I \setminus\{a\} à valeurs dans \mathbb{R} (avec a\in\overline{\mathbb{R}}, ensemble des réels complété ) f est dominée par g en a, ssi \frac{f}{g} est bornée au voisinage de $a$

^definition

[!définition] fonction négligeable - définition formelle

• f = \mathcal{O}_a(g) \iff \exists M\in\mathbb{R}^{+}, |f(x)| \leq M|g(x)| au voisinage de a
• f = \mathcal{O}_a(g) \iff \exists M\in\mathbb{R}^{+}, \exists \alpha\in\mathbb{R}^{+*}, \forall x \in ]a-\alpha; a+\alpha[, |f(x)| \leq M|g(x)| ^definition-formelle

Note

f est dominée par g si f "ne l'emporte pas complètement sur $g$" ^definition-intuitive

Notation

On note f = O_{a}(g) pour "f est dominée par g au voisinage de $a$". c'est la notation du grand O

Propriétés

• f=\mathcal{O}_{x_{0}}(g) \iff g=\mathcal{O}_{x_{0}}(f)

  • la domination est commutativité
  • évident, car si \frac{f}{g} est fonction bornée, alors \frac{g}{f} l'est aussi

• \mathcal{O}_{a}(1) désigne toute fonction bornée au voisinage de a

• Si f = \mathcal{O}_{x_{0}}(g) et h = \mathcal{O}_{x_{0}}(g), alors \lambda f + \mu h = \mathcal{O}_{x_{0}}(g) ((\lambda, \mu) \in \mathbb{C}^{2})

  • stable par combinaison linéaire

• \mathcal{O}(\mathcal{O}(f)) = \mathcal{O}(f)

  • formellement si f = \mathcal{O}(g) et g = \mathcal{O}(h) alors f = \mathcal{O}(h)
  • la domination est relation transitive