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up:: [[automorphisme]]
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title:: "[[isomorphisme de groupes]] [[application linéaire|linéaire]] d'un ensemble dans lui-même"
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#s/maths/algèbre
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Un _automorphisme linéaire_ est un [[automorphisme]] qui est aussi une [[application linéaire]].
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> [!définition]
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> un _automorphisme linéaire_ est un [[isomorphisme linéaire]] de $(E, *)$ lui même
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> [!définition]
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> Soit $(E, +, \cdot)$ un $\mathbf{K}$ [[espace vectoriel]]
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> une [[application]] $f$ est un [[automorphisme linéaire]] de $E \to F$ ssi :
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> - $\forall x \in E, f(x) \in E$ (soit $E = F$)
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> - $\forall (u, v) \in E^{2}, \forall \lambda \in\mathbf{K}, f(\lambda u+v) = \lambda f(u)+f(v)$ ($f$ est [[application linéaire|linéaire]])
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> - $f$ est un [[isomorphisme de groupes]] :
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> - $\forall (u, v) \in E^{2}, f(u+_{E}v) = f(u) +_{F} f(v)$ ($f$ est un [[morphisme de groupes]]) (nécessaire puisqu'on à $E = F$)
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> - $f$ est [[bijection|bijective]]
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> [!définition]
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> Soit $(E, +, \cdot)$ un $\mathbf{K}$[[espace vectoriel]]
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> une [[application]] $f$ est un [[automorphisme linéaire]] de $E \to F$ ssi :
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> - $f$ est [[application linéaire|linéaire]]
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> - $f$ est [[bijection|bijective]]
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