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algèbre

up::structure algébrique title::$\mathbf{K}$-espace vectoriel muni d'une 2$^{\text{ème}}$ loi de composition interne qui forme un monoïde description::"(A,+,\circ,\cdot) est une algèbre ssi :", " - (A,+,\cdot) est un espace vectoriel", " - (A, \circ) est un monoïde" #maths/algèbre

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Soit un ensemble A (A, +, \circ, \cdot) est une algèbre ssi : - (A, +, \cdot) forme un espace vectoriel - (A, +) forme un groupe abélien - \cdot est une loi externe distributivité sur + - (A, \circ) forme un monoïde

[!definition] $\mathbb{R}$-algèbre Une $\mathbb{R}$-algèbre est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel E muni d'une loi \cdot : \mathbf{E} \times \mathbf{E} \to E telle que \cdot forme bilinéaire : \forall x, y, z \in E, \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}, \quad (x+\lambda y)\cdot z = (x\cdot z) + \lambda (y\cdot z) \forall x, y, z \in E, \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}, \quad z\cdot(x+\lambda y) = (z\cdot x) + \lambda (z\cdot y) ^definition

[!example] Exemples

• E = \mathcal{C}([0, 1], \mathbb{R}) muni du produit classique de fonction (f\cdot g)(t) = f(t)\cdot g(t) est une algèbre
• \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) munie du produit de matrices est une $\mathbb{R}$-algèbre

^example